Номер 1.193, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.9. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.193, страница 56.

Условие.

1.193 Найдите все целые значения n, при которых значение дроби есть число целое:

a) $ \frac{2n^2+7n+3}{2n-1} $

б) $ \frac{2n^3+n^2-3n-4}{n-2} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы значение дроби $\frac{2n^2+7n+3}{2n-1}$ было целым числом при целых значениях $n$, необходимо выделить целую часть дроби. Для этого разделим числитель на знаменатель, например, путем преобразования числителя так, чтобы выделить в нем множитель, равный знаменателю $(2n-1)$.

Преобразуем числитель:
$2n^2+7n+3 = 2n^2 - n + 8n + 3 = n(2n-1) + 8n - 4 + 7 = n(2n-1) + 4(2n-1) + 7 = (n+4)(2n-1) + 7$.

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{(n+4)(2n-1) + 7}{2n-1} = \frac{(n+4)(2n-1)}{2n-1} + \frac{7}{2n-1} = n+4 + \frac{7}{2n-1}$.

Поскольку $n$ — целое число, то и выражение $n+4$ также является целым числом. Для того чтобы вся сумма была целым числом, необходимо, чтобы дробь $\frac{7}{2n-1}$ также была целым числом.

Это возможно только в том случае, если знаменатель $(2n-1)$ является делителем числителя $7$. Целые делители числа $7$: $1, -1, 7, -7$.

Рассмотрим все возможные случаи:
1. $2n-1=1 \implies 2n=2 \implies n=1$
2. $2n-1=-1 \implies 2n=0 \implies n=0$
3. $2n-1=7 \implies 2n=8 \implies n=4$
4. $2n-1=-7 \implies 2n=-6 \implies n=-3$

Все найденные значения $n$ являются целыми.

Ответ: $n \in \{-3, 0, 1, 4\}$.

б)

Чтобы значение дроби $\frac{2n^3+n^2-3n-4}{n-2}$ было целым числом при целых значениях $n$, выделим целую часть дроби, разделив многочлен в числителе на многочлен в знаменателе.

Для деления $2n^3+n^2-3n-4$ на $n-2$ можно использовать деление столбиком или схему Горнера. Воспользуемся схемой Горнера (корень знаменателя $n-2$ равен $2$):

$\begin{array}{c|cccc} & 2 & 1 & -3 & -4 \\ 2 & \downarrow & 4 & 10 & 14 \\ \hline & 2 & 5 & 7 & 10 \\ \end{array}$
Коэффициенты частного — $2, 5, 7$, что соответствует многочлену $2n^2+5n+7$. Остаток от деления равен $10$.

Таким образом, исходную дробь можно представить в виде:

$\frac{2n^3+n^2-3n-4}{n-2} = 2n^2+5n+7 + \frac{10}{n-2}$.

Поскольку $n$ — целое число, выражение $2n^2+5n+7$ также является целым числом. Следовательно, для целочисленности всего выражения необходимо, чтобы дробь $\frac{10}{n-2}$ была целым числом.

Это возможно только в том случае, если знаменатель $(n-2)$ является делителем числителя $10$. Целые делители числа $10$: $\pm1, \pm2, \pm5, \pm10$.

Рассмотрим все возможные случаи:
1. $n-2=1 \implies n=3$
2. $n-2=-1 \implies n=1$
3. $n-2=2 \implies n=4$
4. $n-2=-2 \implies n=0$
5. $n-2=5 \implies n=7$
6. $n-2=-5 \implies n=-3$
7. $n-2=10 \implies n=12$
8. $n-2=-10 \implies n=-8$

Все найденные значения $n$ являются целыми.

Ответ: $n \in \{-8, -3, 0, 1, 3, 4, 7, 12\}$.