Номер 1.186, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.8. Решение уравнений и задач. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.186, страница 52.

Условие.

1.186 █ РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ █ Разберите, как составлено уравнение по условию задачи, и доведите решение до конца: «Сколько граммов 75 %-ного раствора кислоты надо добавить к 30 г 15 %-ного раствора этой же кислоты, чтобы получить 50 %-ный раствор?»

Составление уравнения:

1) $x$ г — количество 75 %-ного раствора кислоты, которое надо добавить;

2) $(30 + x)$ г — масса получившегося 50 %-ного раствора кислоты;

3) $0,75x$ г — количество кислоты в $x$ г 75 %-ного раствора;

4) $0,15 \cdot 30$ г — количество кислоты в 30 г 15 %-ного раствора;

5) $0,5(30 + x)$ г — количество кислоты в 50 %-ном растворе.

Уравнение:

кол-во кислоты в 75 %-ном растворе + кол-во кислоты в 15 %-ном растворе = кол-во кислоты в 50 %-ном растворе

$0,75x + 0,15 \cdot 30 = 0,5(30 + x)$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Разбор составления уравнения

Уравнение составлено на основе закона сохранения массы чистого вещества (в данном случае — кислоты). Этот закон гласит, что масса кислоты в конечном растворе равна сумме масс кислоты в исходных растворах, которые смешали.

Рассмотрим логику составления уравнения по шагам:

• Пусть $x$ г — это искомая масса 75%-ного раствора кислоты.
• Масса чистой кислоты в этом растворе составляет 75% от его общей массы, что в виде десятичной дроби равно $0,75$. Таким образом, масса кислоты равна $0,75x$ г.
• В имеющихся 30 г 15%-ного раствора содержится $0,15 \cdot 30 = 4,5$ г чистой кислоты.
• При смешивании этих двух растворов общая масса нового, конечного раствора станет $(30 + x)$ г. По условию задачи, его концентрация должна быть 50%.
• Следовательно, масса чистой кислоты в конечном растворе должна составлять $0,5 \cdot (30 + x)$ г.

Теперь приравняем общее количество кислоты в исходных растворах к количеству кислоты в конечном растворе:
(Кислота в 75%-ном растворе) + (Кислота в 15%-ном растворе) = (Кислота в итоговом 50%-ном растворе) $$0,75x + 0,15 \cdot 30 = 0,5(30 + x)$$ Таким образом, уравнение, представленное в задаче, составлено верно.

Доведение решения до конца

Теперь необходимо решить составленное уравнение, чтобы найти значение $x$. $$0,75x + 0,15 \cdot 30 = 0,5(30 + x)$$ 1. Выполним операцию умножения в левой части уравнения: $$0,75x + 4,5 = 0,5(30 + x)$$ 2. Раскроем скобки в правой части уравнения, умножив $0,5$ на каждый член внутри скобок: $$0,75x + 4,5 = 0,5 \cdot 30 + 0,5 \cdot x$$ $$0,75x + 4,5 = 15 + 0,5x$$ 3. Сгруппируем члены, содержащие переменную $x$, в левой части уравнения, а постоянные члены — в правой. Для этого вычтем $0,5x$ и $4,5$ из обеих частей: $$0,75x - 0,5x = 15 - 4,5$$ 4. Упростим обе части уравнения, выполнив вычитание: $$0,25x = 10,5$$ 5. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $0,25$: $$x = \frac{10,5}{0,25}$$ Деление на $0,25$ равносильно умножению на 4: $$x = 10,5 \cdot 4 = 42$$

Следовательно, для получения 50%-ного раствора кислоты необходимо добавить 42 грамма 75%-ного раствора.

Ответ: 42 г.