Номер 1.191, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.9. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.191, страница 56.

Условие.

1.191 При каких целых n значение дроби является числом целым:

а) $ \frac{10}{n+5} $;

б) $ \frac{15}{2n+1} $;

в) $ \frac{20}{3n-4} $?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы значение дроби $\frac{10}{n+5}$ было целым числом, необходимо, чтобы ее знаменатель $(n+5)$ являлся целым делителем числителя 10.

Целые делители числа 10: $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$.

Приравняем знаменатель к каждому из делителей и найдем соответствующие значения $n$:

• $n+5 = 1 \implies n = 1 - 5 = -4$
• $n+5 = -1 \implies n = -1 - 5 = -6$
• $n+5 = 2 \implies n = 2 - 5 = -3$
• $n+5 = -2 \implies n = -2 - 5 = -7$
• $n+5 = 5 \implies n = 5 - 5 = 0$
• $n+5 = -5 \implies n = -5 - 5 = -10$
• $n+5 = 10 \implies n = 10 - 5 = 5$
• $n+5 = -10 \implies n = -10 - 5 = -15$

Все найденные значения $n$ являются целыми числами.

Ответ: $n \in \{-15, -10, -7, -6, -4, -3, 0, 5\}$.

б)

Чтобы значение дроби $\frac{15}{2n+1}$ было целым числом, необходимо, чтобы ее знаменатель $(2n+1)$ являлся целым делителем числителя 15.

Целые делители числа 15: $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$.

Приравняем знаменатель к каждому из делителей и найдем соответствующие значения $n$:

• $2n+1 = 1 \implies 2n = 0 \implies n=0$
• $2n+1 = -1 \implies 2n = -2 \implies n=-1$
• $2n+1 = 3 \implies 2n = 2 \implies n=1$
• $2n+1 = -3 \implies 2n = -4 \implies n=-2$
• $2n+1 = 5 \implies 2n = 4 \implies n=2$
• $2n+1 = -5 \implies 2n = -6 \implies n=-3$
• $2n+1 = 15 \implies 2n = 14 \implies n=7$
• $2n+1 = -15 \implies 2n = -16 \implies n=-8$

Во всех случаях полученные значения $n$ являются целыми.

Ответ: $n \in \{-8, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 7\}$.

в)

Чтобы значение дроби $\frac{20}{3n-4}$ было целым числом, необходимо, чтобы ее знаменатель $(3n-4)$ являлся целым делителем числителя 20.

Целые делители числа 20: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$.

Пусть $3n-4 = k$, где $k$ - один из делителей числа 20. Тогда $3n = k+4$, и $n = \frac{k+4}{3}$. Поскольку по условию $n$ должно быть целым, то сумма $(k+4)$ должна делиться на 3 без остатка. Проверим все делители $k$:

• $k=1: n = \frac{1+4}{3} = \frac{5}{3}$ (не целое)
• $k=-1: n = \frac{-1+4}{3} = \frac{3}{3} = 1$ (целое)
• $k=2: n = \frac{2+4}{3} = \frac{6}{3} = 2$ (целое)
• $k=-2: n = \frac{-2+4}{3} = \frac{2}{3}$ (не целое)
• $k=4: n = \frac{4+4}{3} = \frac{8}{3}$ (не целое)
• $k=-4: n = \frac{-4+4}{3} = \frac{0}{3} = 0$ (целое)
• $k=5: n = \frac{5+4}{3} = \frac{9}{3} = 3$ (целое)
• $k=-5: n = \frac{-5+4}{3} = -\frac{1}{3}$ (не целое)
• $k=10: n = \frac{10+4}{3} = \frac{14}{3}$ (не целое)
• $k=-10: n = \frac{-10+4}{3} = \frac{-6}{3} = -2$ (целое)
• $k=20: n = \frac{20+4}{3} = \frac{24}{3} = 8$ (целое)
• $k=-20: n = \frac{-20+4}{3} = -\frac{16}{3}$ (не целое)

Выбираем только те случаи, где $n$ является целым числом.

Ответ: $n \in \{-2, 0, 1, 2, 3, 8\}$.