Номер 1.195, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.9. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.195, страница 57.

Условие.

1.195 Докажите:

если каждое из чисел $a$ и $b$ делится на число $c$, то и их разность $a - b$ делится на $c$;

если каждое из чисел $a - b$ и $b$ делится на число $c$, то и число $a$ делится на $c$.

Теперь у вас доказана теорема:

числа $a - b$ и $b$ имеют те же общие делители, что и числа $a$ и $b$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

если каждое из чисел a и b делится на число c, то и их разность a - b делится на c;

По условию, число $a$ делится на $c$ и число $b$ делится на $c$.
По определению делимости, это означает, что существуют целые числа $k$ и $m$ такие, что:
$a = c \cdot k$
$b = c \cdot m$

Рассмотрим их разность $a - b$. Подставим в это выражение равенства для $a$ и $b$:
$a - b = (c \cdot k) - (c \cdot m)$

Вынесем общий множитель $c$ за скобки:
$a - b = c \cdot (k - m)$

Так как $k$ и $m$ — целые числа, то их разность $(k - m)$ также является целым числом. Обозначим это целое число буквой $n$, то есть $n = k - m$.
Тогда мы получаем:
$a - b = c \cdot n$

Это равенство по определению означает, что разность $a - b$ делится на $c$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

если каждое из чисел a - b и b делится на число c, то и число a делится на c.

По условию, число $a - b$ делится на $c$ и число $b$ делится на $c$.
По определению делимости, это означает, что существуют целые числа $p$ и $q$ такие, что:
$a - b = c \cdot p$
$b = c \cdot q$

Чтобы найти выражение для $a$, мы можем сложить $(a - b)$ и $b$:
$a = (a - b) + b$

Подставим в это равенство известные нам выражения для $(a - b)$ и $b$:
$a = (c \cdot p) + (c \cdot q)$

Вынесем общий множитель $c$ за скобки:
$a = c \cdot (p + q)$

Так как $p$ и $q$ — целые числа, их сумма $(p + q)$ также является целым числом. Обозначим это целое число буквой $r$, то есть $r = p + q$.
Тогда мы получаем:
$a = c \cdot r$

Это равенство по определению означает, что число $a$ делится на $c$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Доказанные выше два утверждения составляют доказательство следующей важной теоремы: числа $a - b$ и $b$ имеют те же общие делители, что и числа $a$ и $b$.

Действительно:
1. Из первого утверждения следует, что любой общий делитель чисел $a$ и $b$ является также делителем числа $a - b$, а значит, и общим делителем чисел $a - b$ и $b$.
2. Из второго утверждения следует, что любой общий делитель чисел $a - b$ и $b$ является также делителем числа $a$, а значит, и общим делителем чисел $a$ и $b$.

Таким образом, множества общих делителей для пар $(a, b)$ и $(a - b, b)$ полностью совпадают. Эта теорема является ключевым шагом в алгоритме Евклида для нахождения наибольшего общего делителя.