Номер 5, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Глава 1. Алгебраические дроби - номер 5, страница 57.

Условие.

5 Объясните, как сократить дробь $\frac{3y - 3x}{x^2 - y^2}$.

Решение 2.

Решение 4.

Чтобы сократить дробь $ \frac{3y - 3x}{x^2 - y^2} $, необходимо разложить ее числитель и знаменатель на множители, чтобы найти и сократить общие из них. Этот процесс выполняется в несколько шагов.

1. Сначала разложим на множители числитель дроби, $3y - 3x$. Мы видим, что у обоих членов есть общий множитель 3. Вынесем его за скобки:
$3y - 3x = 3(y - x)$

2. Далее разложим на множители знаменатель, $x^2 - y^2$. Это выражение является классической формулой сокращенного умножения, известной как "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Применяя эту формулу, получаем:
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

3. Теперь, когда числитель и знаменатель разложены на множители, подставим их обратно в исходную дробь:
$ \frac{3(y - x)}{(x - y)(x + y)} $

4. На этом этапе нужно найти общие множители для сокращения. Мы видим, что в числителе есть множитель $(y - x)$, а в знаменателе — $(x - y)$. Эти выражения противоположны друг другу, то есть они отличаются только знаком. Мы можем воспользоваться тождеством $y - x = -(x - y)$. Выполним эту замену в числителе:
$3(y - x) = 3 \cdot (-(x - y)) = -3(x - y)$

5. Перепишем дробь с учетом этого преобразования:
$ \frac{-3(x - y)}{(x - y)(x + y)} $

6. Теперь у нас есть общий множитель $(x - y)$ в числителе и знаменателе. Мы можем сократить дробь на этот множитель (при условии, что он не равен нулю, то есть $x \neq y$):
$ \frac{-3\cancel{(x - y)}}{\cancel{(x - y)}(x + y)} = \frac{-3}{x + y} $

Таким образом, после всех преобразований и сокращения, мы получаем упрощенное выражение.

Ответ: $ \frac{-3}{x + y} $