Номер 6, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Глава 1. Алгебраические дроби - номер 6, страница 57.

Условие.

6 Объясните на примере выражения $\frac{x+m}{xm} + \frac{y-m}{ym}$, как выполняют сложение дробей с разными знаменателями.

Решение 2.

Решение 4.

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, необходимо сначала привести их к общему знаменателю. Рассмотрим этот процесс на примере выражения $\frac{x+m}{xm} + \frac{y-m}{ym}$.

Шаг 1: Нахождение наименьшего общего знаменателя (НОЗ)

Сначала нужно найти наименьшее общее кратное для знаменателей дробей. Знаменатели наших дробей: $xm$ и $ym$.

Чтобы найти НОЗ, нужно взять все множители, входящие в состав каждого знаменателя, в наивысшей встречающейся степени.
Знаменатель первой дроби: $x \cdot m$.
Знаменатель второй дроби: $y \cdot m$.
Уникальные множители: $x$, $y$, $m$. Все они в первой степени.
Следовательно, наименьший общий знаменатель (НОЗ) будет произведением этих множителей: $x \cdot y \cdot m = xym$.

Шаг 2: Нахождение дополнительных множителей

Теперь для каждой дроби найдем дополнительный множитель. Для этого разделим общий знаменатель ($xym$) на знаменатель каждой дроби.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{x+m}{xm}$ : $\frac{xym}{xm} = y$ .

Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{y-m}{ym}$ : $\frac{xym}{ym} = x$ .

Шаг 3: Приведение дробей к общему знаменателю

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель. Это основное свойство дроби, которое позволяет не изменять ее величину.

Первая дробь: $\frac{x+m}{xm} = \frac{(x+m) \cdot y}{xm \cdot y} = \frac{xy+my}{xym}$ .

Вторая дробь: $\frac{y-m}{ym} = \frac{(y-m) \cdot x}{ym \cdot x} = \frac{xy-mx}{xym}$ .

Шаг 4: Сложение дробей

Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, мы можем их сложить. Для этого нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

$\frac{xy+my}{xym} + \frac{xy-mx}{xym} = \frac{(xy+my) + (xy-mx)}{xym}$

Шаг 5: Упрощение полученного выражения

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые.

$\frac{xy+my+xy-mx}{xym} = \frac{2xy+my-mx}{xym}$

Дальнейшее упрощение (сокращение) дроби невозможно, так как в числителе нет общего множителя, который совпадал бы с множителями знаменателя.

Ответ: $\frac{2xy+my-mx}{xym}$