Номер 1.196, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.9. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.196, страница 57.

Условие.

1.196 При каких натуральных значениях n можно сократить дробь:

а) $ \frac{2n+1}{n-1} $;

б) $ \frac{4n+3}{3n-1} $?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дробь $\frac{2n+1}{n-1}$ можно сократить, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, больший 1. Найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя с помощью алгоритма Евклида. По условию, $n$ — натуральное число, при этом знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $n-1 \neq 0$, то есть $n \neq 1$.

Пусть $d = \text{НОД}(2n+1, n-1)$.

Используя свойство НОД, что $\text{НОД}(a, b) = \text{НОД}(a-kb, b)$, вычтем из числителя удвоенный знаменатель:

$d = \text{НОД}(2n+1 - 2(n-1), n-1) = \text{НОД}(2n+1 - 2n+2, n-1) = \text{НОД}(3, n-1)$.

Чтобы дробь была сократимой, их НОД должен быть больше 1. Так как 3 — простое число, его делителями являются только 1 и 3. Следовательно, для сократимости дроби $d$ должен быть равен 3.

Это возможно только в том случае, если $n-1$ делится на 3 без остатка. То есть, $n-1 = 3k$ для некоторого целого числа $k$.

Отсюда $n = 3k+1$.

Поскольку $n$ — натуральное число и $n \neq 1$, то $n$ должно быть больше 1. Подставим это условие:

$3k+1 > 1 \implies 3k > 0 \implies k > 0$.

Так как $k$ — целое число, то $k$ может быть любым натуральным числом ($k \ge 1$).

Таким образом, дробь можно сократить при $n$, имеющих вид $3k+1$, где $k$ — любое натуральное число. Например, при $k=1 \implies n=4$ (дробь $\frac{9}{3}$), при $k=2 \implies n=7$ (дробь $\frac{15}{6}$), и так далее.

Ответ: $n = 3k+1$, где $k$ — любое натуральное число.

б)

Дробь $\frac{4n+3}{3n-1}$ можно сократить, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель $d > 1$. $n$ — натуральное число, поэтому знаменатель $3n-1$ не равен нулю (ближайшее значение $n$, при котором он равен нулю, это $n=1/3$).

Найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя с помощью алгоритма Евклида. Пусть $d = \text{НОД}(4n+3, 3n-1)$.

Применим свойство $\text{НОД}(a, b) = \text{НОД}(a-kb, b)$ в несколько шагов:

1. $d = \text{НОД}(4n+3 - (3n-1), 3n-1) = \text{НОД}(n+4, 3n-1)$.

2. $d = \text{НОД}(n+4, 3n-1 - 3(n+4)) = \text{НОД}(n+4, 3n-1 - 3n-12) = \text{НОД}(n+4, -13)$.

Поскольку $\text{НОД}(a, b) = \text{НОД}(a, |b|)$, то $d = \text{НОД}(n+4, 13)$.

Чтобы дробь была сократимой, их НОД должен быть больше 1. Так как 13 — простое число, его делителями являются только 1 и 13. Следовательно, для сократимости дроби необходимо, чтобы $d=13$.

Это условие выполняется, если $n+4$ кратно 13. То есть, $n+4 = 13k$ для некоторого целого числа $k$.

Отсюда $n = 13k-4$.

По условию, $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$.

$13k-4 \ge 1 \implies 13k \ge 5 \implies k \ge \frac{5}{13}$.

Так как $k$ — целое число, его наименьшее значение равно 1. Таким образом, $k$ может быть любым натуральным числом ($k \ge 1$).

Например, при $k=1 \implies n=9$ (дробь $\frac{39}{26}$), при $k=2 \implies n=22$ (дробь $\frac{91}{65}$), и так далее.

Ответ: $n = 13k-4$, где $k$ — любое натуральное число.