Номер 1.188, страница 53 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.8. Решение уравнений и задач. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.188, страница 53.

Условие.

Решите задачу (1.188–1.189).

1.188 Два слитка, один из которых содержит $35\%$ серебра, а другой — $65\%$, сплавляют и получают слиток массой 20 г, содержащий $47\%$ серебра. Чему равна масса каждого из этих слитков?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1.188

Для решения этой задачи необходимо составить систему уравнений. Пусть $m_1$ — это масса первого слитка (содержащего 35% серебра), а $m_2$ — это масса второго слитка (содержащего 65% серебра). Массы будем измерять в граммах (г).

Из условия задачи известно, что при сплавлении двух слитков получается новый слиток массой 20 г. Это означает, что сумма масс исходных слитков равна 20 г. Получаем первое уравнение:

$m_1 + m_2 = 20$

Далее, рассмотрим массу чистого серебра в каждом слитке и в итоговом сплаве.

• Масса серебра в первом слитке: $0.35 \cdot m_1$.
• Масса серебра во втором слитке: $0.65 \cdot m_2$.
• Масса серебра в конечном слитке: он весит 20 г и содержит 47% серебра, следовательно, масса серебра в нем составляет $0.47 \cdot 20 = 9.4$ г.

Общая масса серебра в итоговом слитке равна сумме масс серебра из двух первоначальных слитков. Это дает нам второе уравнение:

$0.35 m_1 + 0.65 m_2 = 9.4$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} m_1 + m_2 = 20 \\ 0.35 m_1 + 0.65 m_2 = 9.4 \end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $m_1$ через $m_2$:

$m_1 = 20 - m_2$

Подставим это выражение для $m_1$ во второе уравнение:

$0.35 (20 - m_2) + 0.65 m_2 = 9.4$

Теперь решим это уравнение относительно $m_2$:

$0.35 \cdot 20 - 0.35 m_2 + 0.65 m_2 = 9.4$

$7 + 0.30 m_2 = 9.4$

$0.30 m_2 = 9.4 - 7$

$0.30 m_2 = 2.4$

$m_2 = \frac{2.4}{0.30} = 8$

Таким образом, масса второго слитка (с 65% содержанием серебра) равна 8 г.

Теперь, зная $m_2$, найдем массу первого слитка $m_1$:

$m_1 = 20 - m_2 = 20 - 8 = 12$

Следовательно, масса первого слитка (с 35% содержанием серебра) равна 12 г.

Проверка:

Убедимся, что наши результаты верны, подставив их в исходные условия.

Общая масса: $12\text{ г} + 8\text{ г} = 20\text{ г}$. Верно.

Общая масса серебра: $(0.35 \cdot 12) + (0.65 \cdot 8) = 4.2\text{ г} + 5.2\text{ г} = 9.4\text{ г}$.

Процентное содержание серебра в итоговом слитке: $\frac{9.4\text{ г}}{20\text{ г}} \cdot 100\% = 47\%$. Верно.

Ответ: масса слитка с 35% содержанием серебра — 12 г, масса слитка с 65% содержанием серебра — 8 г.