Номер 1.182, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.8. Решение уравнений и задач. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1.182, страница 52.

Условие.

1.182 Андрей, развивая выносливость в беге, сначала бежал 40 мин по просёлочной дороге, а затем по лесной тропе. И хотя путь по тропе оказался на 2 км короче, он затратил на него на 5 мин больше, так как уменьшил скорость на 4 км/ч. Какое расстояние пробежал Андрей?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи введём переменные и составим систему уравнений.

Пусть $v_1$ (в км/ч) – скорость Андрея на просёлочной дороге, а $v_2$ (в км/ч) – его скорость на лесной тропе.
Пусть $S_1$ (в км) – расстояние, которое он пробежал по просёлочной дороге, а $S_2$ (в км) – расстояние по лесной тропе.

Время движения по просёлочной дороге $t_1 = 40$ мин. Переведём его в часы, чтобы единицы измерения были согласованы со скоростью (км/ч):
$t_1 = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.

По условию, на путь по лесной тропе он затратил на 5 минут больше:
$t_2 = 40 \text{ мин} + 5 \text{ мин} = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч}$.

Также из условия задачи нам известны следующие соотношения:

1. Путь по тропе оказался на 2 км короче: $S_2 = S_1 - 2$.
2. Скорость на тропе была на 4 км/ч меньше: $v_2 = v_1 - 4$.

Воспользуемся основной формулой движения $S = v \cdot t$ для каждого участка:
Для просёлочной дороги: $S_1 = v_1 \cdot t_1 = v_1 \cdot \frac{2}{3}$.
Для лесной тропы: $S_2 = v_2 \cdot t_2 = (v_1 - 4) \cdot \frac{3}{4}$.

Теперь подставим выражения для $S_1$ и $S_2$ в соотношение $S_2 = S_1 - 2$:
$(v_1 - 4) \cdot \frac{3}{4} = \left(v_1 \cdot \frac{2}{3}\right) - 2$.

Решим полученное уравнение относительно $v_1$:
$\frac{3}{4}v_1 - \frac{4 \cdot 3}{4} = \frac{2}{3}v_1 - 2$
$\frac{3}{4}v_1 - 3 = \frac{2}{3}v_1 - 2$
Перенесём члены с переменной $v_1$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:
$\frac{3}{4}v_1 - \frac{2}{3}v_1 = 3 - 2$
Приведём дроби к общему знаменателю (12):
$\frac{9}{12}v_1 - \frac{8}{12}v_1 = 1$
$\frac{1}{12}v_1 = 1$
$v_1 = 12$ км/ч.

Мы нашли скорость Андрея на просёлочной дороге. Теперь можем найти пройденные им расстояния.
Расстояние по просёлочной дороге:
$S_1 = v_1 \cdot t_1 = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$ км.
Расстояние по лесной тропе:
$S_2 = S_1 - 2 = 8 - 2 = 6$ км.

Общее расстояние, которое пробежал Андрей, равно сумме расстояний на двух участках:
$S_{общ} = S_1 + S_2 = 8 \text{ км} + 6 \text{ км} = 14 \text{ км}$.

Ответ: Андрей пробежал 14 км.