Номер 4, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Вопросы к параграфу. Глава 2. Квадратные корни - номер 4, страница 91.

Условие.

Запишите на символьном языке правила умножения и деления корней (фрагмент 3). Вычислите произведение $\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}$ и частное $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{27}}$.

Решение 4.

Запишите на символьном языке правила умножения и деления корней

Для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ (причем для операции деления $b$ должно быть строго больше нуля) справедливы следующие тождества:
- Правило умножения корней: Произведение корней из неотрицательных чисел равно корню из произведения этих чисел.
$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ (при $a \ge 0$, $b \ge 0$).
- Правило деления корней: Частное от деления корня из неотрицательного числа на корень из положительного числа равно корню из частного этих чисел.
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ (при $a \ge 0$, $b > 0$).

Вычислите произведение $\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}$

Для вычисления произведения воспользуемся правилом умножения корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{3} \cdot \sqrt{27} = \sqrt{3 \cdot 27}$
Выполним умножение под знаком корня:
$\sqrt{3 \cdot 27} = \sqrt{81}$
Результатом извлечения квадратного корня из 81 является 9.
$\sqrt{81} = 9$

Ответ: 9

Вычислите частное $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{27}}$

Для вычисления частного воспользуемся правилом деления корней: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{27}} = \sqrt{\frac{3}{27}}$
Сократим дробь в подкоренном выражении:
$\sqrt{\frac{3}{27}} = \sqrt{\frac{1}{9}}$
Результатом извлечения квадратного корня из дроби $\frac{1}{9}$ является $\frac{1}{3}$.
$\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$