Номер 2.92, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. График зависимости у =x. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.92, страница 88.

Условие.

2.92 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Даны точки $A(12; 4)$, $B(8; 2)$, $C(17; 5)$.

Верно ли, что график зависимости $y = \sqrt{x}$ пересекает отрезки $AB$ и $AC$ и не пересекает отрезок $BC$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы ответить на вопрос, необходимо определить положение каждой из заданных точек A(12; 4), B(8; 2) и C(17; 5) относительно графика функции $y = \sqrt{x}$.

Положение точки $(x_0, y_0)$ определяется сравнением ее ординаты $y_0$ со значением функции $\sqrt{x_0}$:

• Если $y_0 > \sqrt{x_0}$ (или, что эквивалентно для положительных $y_0$, $y_0^2 > x_0$), точка находится выше графика.
• Если $y_0 < \sqrt{x_0}$ (или $y_0^2 < x_0$), точка находится ниже графика.
• Если $y_0 = \sqrt{x_0}$ (или $y_0^2 = x_0$), точка лежит на графике.

Отрезок пересекает непрерывный график функции, если его концы лежат по разные стороны от графика.

1. Анализ положения точек

Точка A(12; 4):
Сравниваем $y_A = 4$ и $\sqrt{x_A} = \sqrt{12}$. Возведем в квадрат: $y_A^2 = 4^2 = 16$ и $x_A = 12$.Поскольку $16 > 12$, то $y_A > \sqrt{x_A}$. Это означает, что точка A находится выше графика $y = \sqrt{x}$.

Точка B(8; 2):
Сравниваем $y_B = 2$ и $\sqrt{x_B} = \sqrt{8}$. Возведем в квадрат: $y_B^2 = 2^2 = 4$ и $x_B = 8$.Поскольку $4 < 8$, то $y_B < \sqrt{x_B}$. Это означает, что точка B находится ниже графика $y = \sqrt{x}$.

Точка C(17; 5):
Сравниваем $y_C = 5$ и $\sqrt{x_C} = \sqrt{17}$. Возведем в квадрат: $y_C^2 = 5^2 = 25$ и $x_C = 17$.Поскольку $25 > 17$, то $y_C > \sqrt{x_C}$. Это означает, что точка C находится выше графика $y = \sqrt{x}$.

2. Проверка пересечения отрезков с графиком

Отрезок AB:
Точка A лежит выше графика, а точка B — ниже. Так как концы отрезка расположены по разные стороны от графика, отрезок AB пересекает график $y = \sqrt{x}$.

Отрезок AC:
Обе точки, A и C, лежат выше графика. Функция $y = \sqrt{x}$ является вогнутой (ее график выпуклый вверх). Отрезок, соединяющий две точки, расположенные по одну сторону от графика вогнутой функции (в данном случае — выше), не может его пересечь. Следовательно, отрезок AC не пересекает график $y = \sqrt{x}$.

Отрезок BC:
Точка B лежит ниже графика, а точка C — выше. Так как концы отрезка расположены по разные стороны от графика, отрезок BC пересекает график $y = \sqrt{x}$.

3. Вывод

Сведем полученные результаты и сравним их с утверждением из вопроса:

• Утверждается: график пересекает AB. Наш результат: пересекает. (Верно)
• Утверждается: график пересекает AC. Наш результат: не пересекает. (Неверно)
• Утверждается: график не пересекает BC. Наш результат: пересекает. (Неверно)

Поскольку две части утверждения не соответствуют действительности, все утверждение в целом является ложным.

Ответ: Неверно.