Номер 2.89, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. График зависимости у =x. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.89, страница 88.

Условие.

РАССУЖДАЕМ (2.89–2.90) При выполнении упражнений воспользуйтесь рисунком 2.30.

2.89 Сравните числа:

а) $a$ и $\sqrt{a}$, если $0 < a < 1$; если $a > 1$;

б) $a^2$ и $\sqrt{a}$, если $0 < a < 1$; если $a > 1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы сравнить положительные числа $a$ и $\sqrt{a}$, можно сравнить их квадраты. Квадрат числа $a$ равен $a^2$, а квадрат числа $\sqrt{a}$ равен $(\sqrt{a})^2 = a$. Таким образом, задача сводится к сравнению $a^2$ и $a$.

Случай 1: если $0 < a < 1$

Возьмем неравенство $a < 1$ и умножим обе его части на положительное число $a$. Знак неравенства при этом не изменится:

$a \cdot a < 1 \cdot a$

$a^2 < a$

Поскольку $a^2 < a$, и функция квадратного корня возрастающая для положительных чисел, то $\sqrt{a^2} < \sqrt{a}$. Так как $a > 0$, имеем $\sqrt{a^2} = a$. Следовательно, $a < \sqrt{a}$.

Случай 2: если $a > 1$

Возьмем неравенство $a > 1$ и умножим обе его части на положительное число $a$:

$a \cdot a > 1 \cdot a$

$a^2 > a$

Поскольку $a^2 > a$, то $\sqrt{a^2} > \sqrt{a}$. Так как $a > 0$, имеем $\sqrt{a^2} = a$. Следовательно, $a > \sqrt{a}$.

Графически это можно представить, сравнивая положение графиков функций $y=x$ и $y=\sqrt{x}$. На интервале $(0, 1)$ график $y=\sqrt{x}$ лежит выше графика $y=x$, а при $x > 1$ — ниже.

Ответ: если $0 < a < 1$, то $a < \sqrt{a}$; если $a > 1$, то $a > \sqrt{a}$.

б)

Сравним числа $a^2$ и $\sqrt{a}$.

Случай 1: если $0 < a < 1$

Из предыдущего пункта мы знаем, что при $0 < a < 1$ верны неравенства $a^2 < a$ и $a < \sqrt{a}$. Используя свойство транзитивности неравенств, мы можем объединить их в одну цепочку:

$a^2 < a < \sqrt{a}$

Отсюда напрямую следует, что $a^2 < \sqrt{a}$.

Случай 2: если $a > 1$

Из пункта (а) мы также знаем, что при $a > 1$ верны неравенства $a^2 > a$ и $a > \sqrt{a}$. Объединим их в цепочку:

$a^2 > a > \sqrt{a}$

Отсюда следует, что $a^2 > \sqrt{a}$.

Графически это соответствует сравнению положений графиков функций $y=x^2$ и $y=\sqrt{x}$. На интервале $(0, 1)$ график $y=x^2$ лежит ниже графика $y=\sqrt{x}$, а при $x > 1$ — выше.

Ответ: если $0 < a < 1$, то $a^2 < \sqrt{a}$; если $a > 1$, то $a^2 > \sqrt{a}$.