Номер 3, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. График зависимости у =x. Вопросы к параграфу. Глава 2. Квадратные корни - номер 3, страница 87.

Условие.

а) Опишите свойства графика зависимости $y = \sqrt{x}$ (фрагмент 3). Пересекает ли этот график прямая $y = 10$; $y = -10$?

б) Опираясь на рисунок 2.30, опишите свойства графика зависимости $y = x^2$, где $x \geq 0$. В качестве образца используйте описание свойств графи-ка зависимости $y = \sqrt{x}$ (см. фрагмент 3).

Решение 4.

а)

Свойства графика функции $y = \sqrt{x}$:

• Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Таким образом, область определения — это промежуток $[0; +\infty)$.
• Область значений: по определению, арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения, то есть $y \ge 0$. Область значений — это промежуток $[0; +\infty)$.
• Нули функции: функция обращается в ноль при $x=0$. График проходит через начало координат, точку $(0; 0)$, которая является единственной точкой пересечения с осями координат.
• Знакопостоянство: при $x > 0$ значения функции положительны ($y > 0$). Весь график, за исключением начала координат, расположен в первой координатной четверти.
• Монотонность: функция является строго возрастающей на всей области определения. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_2 > x_1$, то $\sqrt{x_2} > \sqrt{x_1}$.
• Экстремумы: наименьшее значение функции $y_{min}=0$ достигается при $x=0$. Наибольшего значения не существует.

Далее определим, пересекает ли график прямые $y = 10$ и $y = -10$.

Для пересечения с прямой $y = 10$ необходимо решить уравнение $\sqrt{x} = 10$. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим $x = 10^2$, то есть $x = 100$. Так как значение $x=100$ принадлежит области определения функции, то график пересекает прямую $y=10$ в точке с координатами $(100; 10)$.

Для пересечения с прямой $y = -10$ необходимо решить уравнение $\sqrt{x} = -10$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции $y = \sqrt{x}$ — это промежуток $[0; +\infty)$, и отрицательное значение $-10$ в него не входит. Следовательно, график функции не пересекает прямую $y=-10$.

Ответ: Свойства графика $y=\sqrt{x}$: область определения $[0; +\infty)$, область значений $[0; +\infty)$, функция возрастает на всей области определения, график начинается в точке $(0;0)$ и расположен в первой координатной четверти. График пересекает прямую $y=10$, но не пересекает прямую $y=-10$.

б)

Свойства графика функции $y = x^2$ при $x \ge 0$ (по аналогии с пунктом а):

• Область определения: по условию $x \ge 0$. Область определения — это промежуток $[0; +\infty)$.
• Область значений: так как $x \ge 0$, то $y = x^2$ также будет принимать только неотрицательные значения, $y \ge 0$. Область значений — это промежуток $[0; +\infty)$.
• Нули функции: функция обращается в ноль при $x=0$. График проходит через начало координат, точку $(0; 0)$.
• Знакопостоянство: при $x > 0$ значения функции положительны ($y > 0$). График на заданной области определения расположен в первой координатной четверти.
• Монотонность: функция является строго возрастающей на всей области определения $[0; +\infty)$. Если $x_2 > x_1 \ge 0$, то $x_2^2 > x_1^2$.
• Экстремумы: наименьшее значение функции $y_{min}=0$ достигается при $x=0$. Наибольшего значения не существует.

Ответ: Свойства графика $y=x^2$ при $x \ge 0$: область определения $[0; +\infty)$, область значений $[0; +\infty)$, функция возрастает на всей области определения, график (правая ветвь параболы) начинается в точке $(0;0)$ и расположен в первой координатной четверти.