Номер 2.81, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. Квадратный корень (алгебраический подход). Глава 2. Квадратные корни - номер 2.81, страница 85.

Условие.

2.81 Решите уравнение, воспользовавшись определением арифметического квадратного корня (если корни есть, сделайте проверку):

а) $\sqrt{x-5}=2;$

б) $\sqrt{x+4}=1;$

в) $7+\sqrt{x}=3;$

г) $\sqrt{x+16}-4=0;$

д) $\sqrt{x^2-36}=8;$

е) $\sqrt{x^2+20}=4.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) В уравнении $\sqrt{x} - 5 = 2$ перенесем $-5$ в правую часть, чтобы изолировать корень:
$\sqrt{x} = 2 + 5$
$\sqrt{x} = 7$
Согласно определению арифметического квадратного корня, если $\sqrt{A} = b$, то должно выполняться условие $b \ge 0$. В нашем случае $7 > 0$, поэтому можно возвести обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 7^2$
$x = 49$
Проверка: Подставим $x=49$ в исходное уравнение: $\sqrt{49} - 5 = 7 - 5 = 2$. Равенство $2 = 2$ верное.
Ответ: $49$.

б) В уравнении $\sqrt{x+4} = 1$ правая часть ($1$) является неотрицательным числом. Возведем обе части в квадрат, так как это является равносильным преобразованием для данного уравнения:
$(\sqrt{x+4})^2 = 1^2$
$x+4 = 1$
$x = 1 - 4$
$x = -3$
Проверка: Подставим $x=-3$ в исходное уравнение: $\sqrt{-3+4} = \sqrt{1} = 1$. Равенство $1 = 1$ верное.
Ответ: $-3$.

в) В уравнении $7 + \sqrt{x} = 3$ изолируем корень, перенеся $7$ в правую часть:
$\sqrt{x} = 3 - 7$
$\sqrt{x} = -4$
По определению, значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным числом. Так как в правой части стоит отрицательное число ($-4$), уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: корней нет.

г) В уравнении $\sqrt{x+16} - 4 = 0$ изолируем корень:
$\sqrt{x+16} = 4$
Правая часть ($4$) является неотрицательным числом. Возводим обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+16})^2 = 4^2$
$x+16 = 16$
$x = 0$
Проверка: Подставим $x=0$ в исходное уравнение: $\sqrt{0+16} - 4 = \sqrt{16} - 4 = 4 - 4 = 0$. Равенство $0 = 0$ верное.
Ответ: $0$.

д) В уравнении $\sqrt{x^2 - 36} = 8$ правая часть ($8$) является неотрицательным числом. Возводим обе части в квадрат:
$(\sqrt{x^2 - 36})^2 = 8^2$
$x^2 - 36 = 64$
$x^2 = 64 + 36$
$x^2 = 100$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 10$ и $x_2 = -10$.
Проверка:
1. Для $x=10$: $\sqrt{10^2 - 36} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$. Равенство $8 = 8$ верное.
2. Для $x=-10$: $\sqrt{(-10)^2 - 36} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$. Равенство $8 = 8$ верное.
Оба корня являются решением уравнения.
Ответ: $10; -10$.

е) В уравнении $\sqrt{x^2 + 20} = 4$ правая часть ($4$) является неотрицательным числом. Возводим обе части в квадрат:
$(\sqrt{x^2 + 20})^2 = 4^2$
$x^2 + 20 = 16$
$x^2 = 16 - 20$
$x^2 = -4$
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, у этого уравнения нет действительных корней.
Ответ: корней нет.