Номер 2.78, страница 84 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. Квадратный корень (алгебраический подход). Глава 2. Квадратные корни - номер 2.78, страница 84.

Условие.

2.78 Найдите корни уравнения и сделайте проверку, подставив их в уравнение:

а) $(x - 4)^2 = 2;$

б) $(x + 1)^2 = 3;$

в) $(2 - x)^2 = 5.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Решим уравнение $(x - 4)^2 = 2$.

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Это даст нам два возможных случая:

1) $x - 4 = \sqrt{2}$

Перенесем -4 в правую часть:

$x_1 = 4 + \sqrt{2}$

2) $x - 4 = -\sqrt{2}$

Перенесем -4 в правую часть:

$x_2 = 4 - \sqrt{2}$

Теперь выполним проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение.

Проверка для $x_1 = 4 + \sqrt{2}$:

$((4 + \sqrt{2}) - 4)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

$2 = 2$. Верно.

Проверка для $x_2 = 4 - \sqrt{2}$:

$((4 - \sqrt{2}) - 4)^2 = (-\sqrt{2})^2 = 2$

$2 = 2$. Верно.

Оба корня найдены верно.

Ответ: $x_1 = 4 + \sqrt{2}$, $x_2 = 4 - \sqrt{2}$.

б) Решим уравнение $(x + 1)^2 = 3$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

1) $x + 1 = \sqrt{3}$

Перенесем 1 в правую часть:

$x_1 = -1 + \sqrt{3}$

2) $x + 1 = -\sqrt{3}$

Перенесем 1 в правую часть:

$x_2 = -1 - \sqrt{3}$

Выполним проверку.

Проверка для $x_1 = -1 + \sqrt{3}$:

$((-1 + \sqrt{3}) + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

$3 = 3$. Верно.

Проверка для $x_2 = -1 - \sqrt{3}$:

$((-1 - \sqrt{3}) + 1)^2 = (-\sqrt{3})^2 = 3$

$3 = 3$. Верно.

Оба корня найдены верно.

Ответ: $x_1 = -1 + \sqrt{3}$, $x_2 = -1 - \sqrt{3}$.

в) Решим уравнение $(2 - x)^2 = 5$.

Заметим, что $(2 - x)^2 = (-(x-2))^2 = (x-2)^2$. Можно решать уравнение $(x-2)^2 = 5$ или исходное. Решим исходное. Извлечем квадратный корень из обеих частей:

1) $2 - x = \sqrt{5}$

Выразим $x$:

$-x = \sqrt{5} - 2$

$x_1 = 2 - \sqrt{5}$

2) $2 - x = -\sqrt{5}$

Выразим $x$:

$-x = -\sqrt{5} - 2$

$x_2 = 2 + \sqrt{5}$

Выполним проверку.

Проверка для $x_1 = 2 - \sqrt{5}$:

$(2 - (2 - \sqrt{5}))^2 = (2 - 2 + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

$5 = 5$. Верно.

Проверка для $x_2 = 2 + \sqrt{5}$:

$(2 - (2 + \sqrt{5}))^2 = (2 - 2 - \sqrt{5})^2 = (-\sqrt{5})^2 = 5$

$5 = 5$. Верно.

Оба корня найдены верно.

Ответ: $x_1 = 2 - \sqrt{5}$, $x_2 = 2 + \sqrt{5}$.