Номер 2.72, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. Квадратный корень (алгебраический подход). Глава 2. Квадратные корни - номер 2.72, страница 83.

Условие.

2.72 АНАЛИЗИРУЕМ Даны уравнения:

$x^2 = 3$, $x^2 = -144$, $x^2 = \frac{4}{9}$, $x^2 = 144$, $x^2 = 0$, $x^2 = -3$.

Выберите из них те, которые:

а) имеют два корня;

б) имеют два рациональных корня;

в) имеют два иррациональных корня;

г) имеют один корень;

д) не имеют корней.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи проанализируем каждое уравнение вида $x^2 = a$ и определим количество и тип его корней в зависимости от значения $a$.
Общее правило:
1. Если $a > 0$, уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = \sqrt{a}$ и $x_2 = -\sqrt{a}$.
2. Если $a = 0$, уравнение имеет один корень: $x = 0$.
3. Если $a < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Рациональные корни получаются, когда $a$ является полным квадратом рационального числа (например, $144 = 12^2$ или $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$). В противном случае, если $a > 0$ и не является полным квадратом, корни будут иррациональными.

а) имеют два корня;
Уравнение имеет два корня, если правая часть уравнения (число $a$) строго больше нуля. Рассмотрим данные уравнения:
$x^2 = 3$ (поскольку $3 > 0$);
$x^2 = \frac{4}{9}$ (поскольку $\frac{4}{9} > 0$);
$x^2 = 144$ (поскольку $144 > 0$).
Эти три уравнения удовлетворяют условию.
Ответ: $x^2 = 3, x^2 = \frac{4}{9}, x^2 = 144$.

б) имеют два рациональных корня;
Уравнение имеет два рациональных корня, если его правая часть $a$ является положительным числом, из которого можно извлечь точный квадратный корень, являющийся рациональным числом.
Проверим уравнения из пункта а):
Для $x^2 = \frac{4}{9}$, корни $x = \pm\sqrt{\frac{4}{9}} = \pm\frac{2}{3}$. Числа $\frac{2}{3}$ и $-\frac{2}{3}$ рациональные.
Для $x^2 = 144$, корни $x = \pm\sqrt{144} = \pm12$. Числа $12$ и $-12$ рациональные.
Для $x^2 = 3$, корни $x = \pm\sqrt{3}$. Число $\sqrt{3}$ является иррациональным.
Ответ: $x^2 = \frac{4}{9}, x^2 = 144$.

в) имеют два иррациональных корня;
Уравнение имеет два иррациональных корня, если его правая часть $a$ является положительным числом, но не является полным квадратом рационального числа.
Из уравнений, имеющих два корня, этому условию удовлетворяет только одно:
Для $x^2 = 3$, корни равны $x = \pm\sqrt{3}$. Число $\sqrt{3}$ — иррациональное.
Ответ: $x^2 = 3$.

г) имеют один корень;
Уравнение имеет ровно один корень, когда его правая часть равна нулю ($a=0$). В этом случае корень также равен нулю.
Этому условию соответствует только уравнение $x^2 = 0$.
Ответ: $x^2 = 0$.

д) не имеют корней.
Уравнение не имеет действительных корней, если его правая часть является отрицательным числом ($a < 0$), так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Этому условию удовлетворяют уравнения:
$x^2 = -144$ (поскольку $-144 < 0$);
$x^2 = -3$ (поскольку $-3 < 0$).
Ответ: $x^2 = -144, x^2 = -3$.