Номер 2.79, страница 84 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. Квадратный корень (алгебраический подход). Глава 2. Квадратные корни - номер 2.79, страница 84.

Условие.

2.79 Решите уравнение:

а) $x^2 = 2$;

б) $(x - 1)^2 = 2$;

в) $x^2 - 1 = 2$;

г) $1 - x^2 = 2$;

д) $1 + x^2 = 2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $x^2 = 2$

Для решения этого уравнения необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей. Уравнение вида $x^2 = a$, где $a > 0$, имеет два корня: $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$. В данном случае $a = 2$.

Следовательно, корни уравнения:

$x = \pm\sqrt{2}$

Ответ: $\pm\sqrt{2}$.

б) $(x - 1)^2 = 2$

Сначала извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Это дает нам два возможных случая:

$x - 1 = \sqrt{2}$ или $x - 1 = -\sqrt{2}$.

Теперь решим каждое из этих линейных уравнений относительно x.

1) $x - 1 = \sqrt{2} \implies x_1 = 1 + \sqrt{2}$.

2) $x - 1 = -\sqrt{2} \implies x_2 = 1 - \sqrt{2}$.

Таким образом, у уравнения два корня.

Ответ: $1 \pm \sqrt{2}$.

в) $x^2 - 1 = 2$

Для решения сначала изолируем член $x^2$. Для этого перенесем -1 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$x^2 = 2 + 1$

$x^2 = 3$

Теперь, когда уравнение приведено к виду $x^2 = a$, извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $\pm\sqrt{3}$.

г) $1 - x^2 = 2$

Сначала изолируем член с $x^2$. Перенесем 1 из левой части в правую:

$-x^2 = 2 - 1$

$-x^2 = 1$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы избавиться от знака "минус" перед $x^2$:

$x^2 = -1$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$. Поскольку правая часть уравнения равна -1 (отрицательное число), данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: нет корней.

д) $1 + x^2 = 2$

Изолируем $x^2$, перенеся 1 в правую часть уравнения:

$x^2 = 2 - 1$

$x^2 = 1$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{1}$

$x = \pm 1$

Ответ: $\pm 1$.