Номер 2, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. График зависимости у =x. Вопросы к параграфу. Глава 2. Квадратные корни - номер 2, страница 87.

Условие.

Относительно какой прямой симметричны графики зависимостей $y=\sqrt{x}$ и $y=x^2$, где $x \ge 0$?

Для точки (2; 4), принадлежащей параболе $y=x^2$, назовите симметричную ей точку, принадлежащую графику зависимости $y=\sqrt{x}$.

Для точки $(3; \sqrt{3})$, принадлежащей графику зависимости $y=\sqrt{x}$, назовите симметричную ей точку, принадлежащую параболе $y=x^2$.

Решение 4.

Относительно какой прямой симметричны графики зависимостей $y = \sqrt{x}$ и $y = x^2$, где $x \ge 0$?

Функции $f(x) = x^2$ при $x \ge 0$ и $g(x) = \sqrt{x}$ являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию, обратную к $y = x^2$, мы меняем местами $x$ и $y$, получая $x = y^2$. Выражая $y$ из этого уравнения, мы получаем $y = \pm\sqrt{x}$. Поскольку исходная функция $y = x^2$ имела область определения $x \ge 0$ и, следовательно, область значений $y \ge 0$, то для обратной функции область определения будет $x \ge 0$, а область значений $y \ge 0$. Поэтому мы выбираем положительный корень: $y = \sqrt{x}$.
Графики взаимно обратных функций всегда симметричны относительно прямой, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов, то есть прямой $y = x$.
Ответ: прямая $y = x$.

Для точки $(2; 4)$, принадлежащей параболе $y = x^2$, назовите симметричную ей точку, принадлежащую графику зависимости $y = \sqrt{x}$.

Симметрия относительно прямой $y = x$ означает, что для любой точки $(a; b)$ на одном графике, симметричная ей точка на другом графике будет иметь координаты $(b; a)$. Исходная точка, принадлежащая параболе $y=x^2$, имеет координаты $(2; 4)$. Проверим: $4 = 2^2$.
Чтобы найти симметричную ей точку, нужно поменять местами ее координаты. Получаем точку $(4; 2)$.
Проверим, принадлежит ли точка $(4; 2)$ графику зависимости $y = \sqrt{x}$. Подставим ее координаты в уравнение: $2 = \sqrt{4}$. Равенство верное. Следовательно, точка $(4; 2)$ является искомой.
Ответ: $(4; 2)$.

Для точки $(3; \sqrt{3})$, принадлежащей графику зависимости $y = \sqrt{x}$, назовите симметричную ей точку, принадлежащую параболе $y = x^2$.

Используем то же правило симметрии относительно прямой $y = x$. Исходная точка, принадлежащая графику $y = \sqrt{x}$, имеет координаты $(3; \sqrt{3})$. Проверим: $\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Меняем местами координаты, чтобы найти симметричную точку: $(\sqrt{3}; 3)$.
Проверим, принадлежит ли точка $(\sqrt{3}; 3)$ параболе $y = x^2$. Подставим ее координаты в уравнение: $3 = (\sqrt{3})^2$. Равенство верное. Следовательно, точка $(\sqrt{3}; 3)$ является искомой.
Ответ: $(\sqrt{3}; 3)$.