Номер 2.83, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. Квадратный корень (алгебраический подход). Глава 2. Квадратные корни - номер 2.83, страница 85.

Условие.

2.83 Упростите:

а) $(\sqrt{\sqrt{8}})^2$

б) $(\sqrt{2\sqrt{3}})^2$

в) $(\sqrt{\sqrt{5}})^4$

г) $(\sqrt{3\sqrt{2}})^4$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы упростить выражение $(\sqrt{\sqrt{8}})^2$, воспользуемся основным свойством квадратного корня, которое гласит, что $(\sqrt{a})^2 = a$ для любого неотрицательного числа $a$.

В нашем случае, основание степени - это $\sqrt{\sqrt{8}}$. При возведении в квадрат внешний корень и степень 2 взаимно уничтожаются:

$(\sqrt{\sqrt{8}})^2 = \sqrt{8}$

Теперь упростим получившееся выражение $\sqrt{8}$. Для этого разложим подкоренное число на множители так, чтобы один из них был полным квадратом: $8 = 4 \cdot 2$.

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Ответ: $2\sqrt{2}$

б)

Выражение $(\sqrt{2\sqrt{3}})^2$ упрощается по тому же принципу, что и в предыдущем пункте. Возведение в квадрат отменяет действие внешнего квадратного корня.

$(\sqrt{2\sqrt{3}})^2 = 2\sqrt{3}$

Данное выражение является окончательным, так как под корнем находится простое число.

Ответ: $2\sqrt{3}$

в)

Чтобы упростить выражение $(\sqrt{\sqrt{5}})^4$, можно представить степень 4 как возведение в квадрат дважды, то есть $a^4 = (a^2)^2$.

$(\sqrt{\sqrt{5}})^4 = ((\sqrt{\sqrt{5}})^2)^2$

Сначала выполним операцию внутри скобок. Возводим $\sqrt{\sqrt{5}}$ в квадрат:

$(\sqrt{\sqrt{5}})^2 = \sqrt{5}$

Теперь полученный результат, $\sqrt{5}$, также возводим в квадрат:

$(\sqrt{5})^2 = 5$

Таким образом, все выражение равно 5.

Ответ: $5$

г)

Упростим выражение $(\sqrt{3\sqrt{2}})^4$. Как и в предыдущем примере, воспользуемся свойством степени $a^4 = (a^2)^2$.

$(\sqrt{3\sqrt{2}})^4 = ((\sqrt{3\sqrt{2}})^2)^2$

Сначала упростим выражение в скобках:

$(\sqrt{3\sqrt{2}})^2 = 3\sqrt{2}$

Теперь возведем полученный результат $3\sqrt{2}$ в квадрат. Для этого используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:

$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$

Ответ: $18$