Номер 2.80, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. Квадратный корень (алгебраический подход). Глава 2. Квадратные корни - номер 2.80, страница 85.

Условие.

2.80 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Известно, что $a^2 + b^2 = 41$ и $ab = 20$. Найдём $a + b$. Чтобы решить задачу, умножим обе части второго равенства на 2, получим $2ab = 40$. Сложив это равенство с первым, получим

$a^2 + b^2 + 2ab = 40 + 41,$
$(a + b)^2 = 81,$
$a + b = 9$ или $a + b = -9.$

Пользуясь рассмотренным приёмом, найдите:

а) положительное значение суммы $a + b$, если $a^2 + b^2 = 82$ и $ab = 9$;

б) значения разности $a - b$, если $a^2 + b^2 = 106$ и $ab = 45$;

в) отрицательное значение разности $a - b$, если $a^2 + b^2 = 72$ и $ab = 18$;

г) значения суммы $a + b$, если $(a - b)^2 = 5$ и $ab = 1$;

д) положительное значение разности $a - b$, если $a + b = 8$ и $a^2 + b^2 = 40$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы найти значение суммы $a + b$, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.

Нам дано, что $a^2 + b^2 = 82$ и $ab = 9$.

Сначала найдем $2ab$: $2ab = 2 \cdot 9 = 18$.

Теперь подставим известные значения в формулу:

$(a+b)^2 = 82 + 18 = 100$.

Следовательно, $a+b = \sqrt{100} = 10$ или $a+b = -\sqrt{100} = -10$.

По условию требуется найти положительное значение, значит $a+b = 10$.

Ответ: 10

б) Чтобы найти значение разности $a - b$, воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$.

Нам дано, что $a^2 + b^2 = 106$ и $ab = 45$.

Найдем $2ab$: $2ab = 2 \cdot 45 = 90$.

Подставим известные значения в формулу:

$(a-b)^2 = 106 - 90 = 16$.

Следовательно, $a-b = \sqrt{16} = 4$ или $a-b = -\sqrt{16} = -4$.

Ответ: 4 или -4

в) Чтобы найти значение разности $a - b$, используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$.

Нам дано, что $a^2 + b^2 = 72$ и $ab = 18$.

Найдем $2ab$: $2ab = 2 \cdot 18 = 36$.

Подставим известные значения в формулу:

$(a-b)^2 = 72 - 36 = 36$.

Следовательно, $a-b = \sqrt{36} = 6$ или $a-b = -\sqrt{36} = -6$.

По условию требуется найти отрицательное значение, значит $a-b = -6$.

Ответ: -6

г) Чтобы найти значение суммы $a + b$, нам нужно сначала найти $a^2 + b^2$.

Нам дано, что $(a - b)^2 = 5$ и $ab = 1$.

Раскроем скобки в формуле квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Подставим известные значения: $5 = a^2 + b^2 - 2 \cdot 1$.

Отсюда найдем $a^2 + b^2$: $a^2 + b^2 = 5 + 2 = 7$.

Теперь воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.

Подставим значения: $(a+b)^2 = 7 + 2 \cdot 1 = 9$.

Следовательно, $a+b = \sqrt{9} = 3$ или $a+b = -\sqrt{9} = -3$.

Ответ: 3 или -3

д) Чтобы найти значение разности $a - b$, нам нужно сначала найти $2ab$.

Нам дано, что $a + b = 8$ и $a^2 + b^2 = 40$.

Возведем в квадрат первое равенство: $(a + b)^2 = 8^2$, что равно $a^2 + 2ab + b^2 = 64$.

Мы знаем, что $a^2 + b^2 = 40$. Подставим это значение в раскрытое равенство: $40 + 2ab = 64$.

Отсюда найдем $2ab$: $2ab = 64 - 40 = 24$.

Теперь воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$.

Подставим известные и найденные значения: $(a-b)^2 = 40 - 24 = 16$.

Следовательно, $a-b = \sqrt{16} = 4$ или $a-b = -\sqrt{16} = -4$.

По условию требуется найти положительное значение, значит $a-b = 4$.

Ответ: 4