Номер 2.75, страница 84 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. Квадратный корень (алгебраический подход). Глава 2. Квадратные корни - номер 2.75, страница 84.

Условие.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (2.75–2.76)

2.75 а) Составьте формулу для вычисления площади $S$ закрашенной фигуры (рис. 2.27). Выразите из этой формулы радиус $R$ круга.

Рис. 2.27

б) Составьте формулу для вычисления площади $S$ закрашенной фигуры (рис. 2.28). Выразите из этой формулы радиус большого круга $R$ и радиус маленького круга $r$.

Рис. 2.28

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Закрашенная фигура на рисунке 2.27 представляет собой квадрат, из которого вырезан вписанный в него круг. Площадь $S$ этой фигуры равна разности площади квадрата и площади круга.

Сторона квадрата равна диаметру вписанного круга, то есть $a = 2R$, где $R$ — радиус круга. Площадь квадрата: $S_{кв} = a^2 = (2R)^2 = 4R^2$.

Площадь круга: $S_{кр} = \pi R^2$.

Таким образом, формула для вычисления площади закрашенной фигуры $S$: $S = S_{кв} - S_{кр} = 4R^2 - \pi R^2 = (4 - \pi)R^2$.

Теперь выразим из этой формулы радиус круга $R$.

$S = (4 - \pi)R^2$

Разделим обе части на $(4 - \pi)$:

$R^2 = \frac{S}{4 - \pi}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку радиус — величина положительная, берем только положительное значение корня:

$R = \sqrt{\frac{S}{4 - \pi}}$

Ответ: Формула для вычисления площади: $S = (4 - \pi)R^2$. Формула для радиуса круга: $R = \sqrt{\frac{S}{4 - \pi}}$.

б)

Закрашенная фигура на рисунке 2.28 представляет собой кольцо, образованное двумя концентрическими кругами. Площадь $S$ этой фигуры равна разности площади большего круга (с радиусом $R$) и площади меньшего круга (с радиусом $r$).

Площадь большего круга: $S_{бол} = \pi R^2$.

Площадь меньшего круга: $S_{мен} = \pi r^2$.

Таким образом, формула для вычисления площади закрашенной фигуры $S$: $S = S_{бол} - S_{мен} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$.

Теперь выразим из этой формулы радиус большого круга $R$.

$S = \pi(R^2 - r^2)$

Разделим обе части на $\pi$:

$\frac{S}{\pi} = R^2 - r^2$

Перенесем $r^2$ в левую часть:

$R^2 = \frac{S}{\pi} + r^2$

Извлечем квадратный корень. Радиус $R$ положителен:

$R = \sqrt{\frac{S}{\pi} + r^2}$

Теперь выразим из исходной формулы радиус малого круга $r$.

$\frac{S}{\pi} = R^2 - r^2$

Выразим $r^2$:

$r^2 = R^2 - \frac{S}{\pi}$

Извлечем квадратный корень. Радиус $r$ положителен:

$r = \sqrt{R^2 - \frac{S}{\pi}}$

Ответ: Формула для вычисления площади: $S = \pi(R^2 - r^2)$. Формула для радиуса большого круга: $R = \sqrt{\frac{S}{\pi} + r^2}$. Формула для радиуса малого круга: $r = \sqrt{R^2 - \frac{S}{\pi}}$.