Номер 2.82, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. Квадратный корень (алгебраический подход). Глава 2. Квадратные корни - номер 2.82, страница 85.

Условие.

2.82 Представьте в виде квадрата некоторого числа:

а) $\sqrt{10}$

б) $2\sqrt{2}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы представить число $ \sqrt{10} $ в виде квадрата некоторого числа, необходимо найти такое число $x$, для которого выполняется равенство $ x^2 = \sqrt{10} $.

Для нахождения $x$ извлечем квадратный корень из обеих частей равенства:

$ x = \sqrt{\sqrt{10}} $

Используя свойство степеней $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $ и определение корня $ \sqrt[n]{a} = a^{1/n} $, мы можем переписать это выражение. Сначала представим $ \sqrt{10} $ как $ 10^{1/2} $:

$ x = \sqrt{10^{1/2}} = (10^{1/2})^{1/2} = 10^{(1/2) \cdot (1/2)} = 10^{1/4} $

Число $ 10^{1/4} $ также можно записать в виде корня четвертой степени из десяти: $ \sqrt[4]{10} $.

Таким образом, мы можем представить $ \sqrt{10} $ как квадрат числа $ \sqrt[4]{10} $. Проверим:

$ (\sqrt[4]{10})^2 = (10^{1/4})^2 = 10^{2/4} = 10^{1/2} = \sqrt{10} $

Ответ: $ (\sqrt[4]{10})^2 $

б)

Чтобы представить число $ 2\sqrt{2} $ в виде квадрата некоторого числа, сначала упростим его, внеся множитель 2 под знак корня. Так как $ 2 = \sqrt{4} $, то:

$ 2\sqrt{2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8} $

Теперь задача сводится к представлению числа $ \sqrt{8} $ в виде квадрата. Найдем такое число $y$, что $ y^2 = \sqrt{8} $.

Извлечем квадратный корень из обеих частей равенства:

$ y = \sqrt{\sqrt{8}} $

Используя свойства степеней, как и в предыдущем пункте, представим $ \sqrt{8} $ как $ 8^{1/2} $:

$ y = \sqrt{8^{1/2}} = (8^{1/2})^{1/2} = 8^{(1/2) \cdot (1/2)} = 8^{1/4} $

Это число можно записать как корень четвертой степени из восьми: $ \sqrt[4]{8} $.

Следовательно, $ 2\sqrt{2} $ можно представить как квадрат числа $ \sqrt[4]{8} $. Проверим:

$ (\sqrt[4]{8})^2 = (8^{1/4})^2 = 8^{2/4} = 8^{1/2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $

Ответ: $ (\sqrt[4]{8})^2 $