Номер 2.65, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. Квадратный корень (алгебраический подход). Глава 2. Квадратные корни - номер 2.65, страница 82.

Условие.

2.65 Найдите квадратные корни из заданных чисел и в каждом случае назовите арифметический корень:

а) 16; 100; 10; 18; 83;

б) 0,01; 0,25; 5,6; 6,4;

в) $\frac{1}{4}$; $\frac{2}{3}$; $2\frac{1}{4}$; $2\frac{7}{9}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) 16; 100; 10; 18; 83;

Квадратным корнем из положительного числа a называется такое число x, что $x^2 = a$. Каждое положительное число имеет два квадратных корня: один положительный и один отрицательный. Неотрицательный квадратный корень называется арифметическим квадратным корнем и обозначается $\sqrt{a}$.

Для числа 16:
Нам нужно найти числа, квадрат которых равен 16. Это числа $4$ и $-4$, поскольку $4^2 = 16$ и $(-4)^2 = 16$.
Таким образом, квадратные корни из 16 это $4$ и $-4$.
Арифметическим квадратным корнем (неотрицательным) является $4$.

Для числа 100:
Числа, квадрат которых равен 100, это $10$ и $-10$, так как $10^2 = 100$ и $(-10)^2 = 100$.
Квадратные корни из 100: $10$ и $-10$.
Арифметический квадратный корень из 100 равен $10$.

Для числа 10:
Поскольку 10 не является точным квадратом целого числа, его квадратные корни являются иррациональными числами.
Квадратные корни из 10: $\sqrt{10}$ и $-\sqrt{10}$.
Арифметический квадратный корень из 10 равен $\sqrt{10}$.

Для числа 18:
Квадратные корни из 18 это $\sqrt{18}$ и $-\sqrt{18}$. Выражение $\sqrt{18}$ можно упростить: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
Следовательно, квадратные корни из 18 это $3\sqrt{2}$ и $-3\sqrt{2}$.
Арифметический квадратный корень из 18 равен $3\sqrt{2}$.

Для числа 83:
Число 83 является простым, поэтому его корень не упрощается.
Квадратные корни из 83: $\sqrt{83}$ и $-\sqrt{83}$.
Арифметический квадратный корень из 83 равен $\sqrt{83}$.

Ответ:
Для 16: квадратные корни $\pm4$; арифметический корень $4$.
Для 100: квадратные корни $\pm10$; арифметический корень $10$.
Для 10: квадратные корни $\pm\sqrt{10}$; арифметический корень $\sqrt{10}$.
Для 18: квадратные корни $\pm3\sqrt{2}$; арифметический корень $3\sqrt{2}$.
Для 83: квадратные корни $\pm\sqrt{83}$; арифметический корень $\sqrt{83}$.

б) 0,01; 0,25; 5,6; 6,4;

Для числа 0,01:
Квадратные корни из 0,01 это $0,1$ и $-0,1$, поскольку $0,1^2 = 0,01$ и $(-0,1)^2 = 0,01$.
Арифметический квадратный корень из 0,01 равен $0,1$.

Для числа 0,25:
Квадратные корни из 0,25 это $0,5$ и $-0,5$, поскольку $0,5^2 = 0,25$ и $(-0,5)^2 = 0,25$.
Арифметический квадратный корень из 0,25 равен $0,5$.

Для числа 5,6:
Поскольку 5,6 не является квадратом рационального числа, его квадратные корни являются иррациональными числами.
Квадратные корни из 5,6: $\sqrt{5,6}$ и $-\sqrt{5,6}$.
Арифметический квадратный корень из 5,6 равен $\sqrt{5,6}$.

Для числа 6,4:
Квадратные корни из 6,4 это $\sqrt{6,4}$ и $-\sqrt{6,4}$.
Арифметический квадратный корень из 6,4 равен $\sqrt{6,4}$.

Ответ:
Для 0,01: квадратные корни $\pm0,1$; арифметический корень $0,1$.
Для 0,25: квадратные корни $\pm0,5$; арифметический корень $0,5$.
Для 5,6: квадратные корни $\pm\sqrt{5,6}$; арифметический корень $\sqrt{5,6}$.
Для 6,4: квадратные корни $\pm\sqrt{6,4}$; арифметический корень $\sqrt{6,4}$.

в) 1/4; 2/3; 2 1/4; 2 7/9;

Для числа $\frac{1}{4}$:
Квадратные корни из $\frac{1}{4}$ это $\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{2}$, так как $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ и $(-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
Арифметический квадратный корень равен $\frac{1}{2}$.

Для числа $\frac{2}{3}$:
Квадратные корни из $\frac{2}{3}$ это иррациональные числа $\sqrt{\frac{2}{3}}$ и $-\sqrt{\frac{2}{3}}$.
Арифметический квадратный корень равен $\sqrt{\frac{2}{3}}$.

Для числа $2\frac{1}{4}$:
Сначала переведем смешанную дробь в неправильную: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$.
Квадратные корни из $\frac{9}{4}$ это $\frac{3}{2}$ и $-\frac{3}{2}$, так как $(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.
Арифметический квадратный корень равен $\frac{3}{2}$.

Для числа $2\frac{7}{9}$:
Переведем смешанную дробь в неправильную: $2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{18+7}{9} = \frac{25}{9}$.
Квадратные корни из $\frac{25}{9}$ это $\frac{5}{3}$ и $-\frac{5}{3}$, так как $(\frac{5}{3})^2 = \frac{25}{9}$.
Арифметический квадратный корень равен $\frac{5}{3}$.

Ответ:
Для $\frac{1}{4}$: квадратные корни $\pm\frac{1}{2}$; арифметический корень $\frac{1}{2}$.
Для $\frac{2}{3}$: квадратные корни $\pm\sqrt{\frac{2}{3}}$; арифметический корень $\sqrt{\frac{2}{3}}$.
Для $2\frac{1}{4}$: квадратные корни $\pm\frac{3}{2}$; арифметический корень $\frac{3}{2}$.
Для $2\frac{7}{9}$: квадратные корни $\pm\frac{5}{3}$; арифметический корень $\frac{5}{3}$.