Номер 2.63, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Теорема Пифагора. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.63, страница 79.

Условие.

2.63 Исследуем На рисунке 2.24 шесть отрезков имеют длину, равную 1.

1) Найдите длины отрезков $AB$, $AD$, $AE$, $AF$, $AG$.

2) Постройте такую же фигуру в тетради и достройте её так, чтобы получить отрезок длиной $\sqrt{8}$.

Рис. 2.24

3) Отрезки длиной $\sqrt{10}$, $\sqrt{13}$, $\sqrt{17}$ можно получить, продолжив построение этой фигуры. Но для этих длин можно применить и более простой приём. Догадайтесь какой и постройте отрезки с указанными длинами.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Для нахождения длин отрезков воспользуемся теоремой Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$), последовательно рассматривая прямоугольные треугольники, из которых состоит фигура.

• В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ (прямой угол при C) катеты $AC = 1$ и $BC = 1$. Гипотенуза $AB$ вычисляется как: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
• В прямоугольном треугольнике $\triangle ABD$ (прямой угол при B) катеты $AB = \sqrt{2}$ и $BD = 1$. Гипотенуза $AD$ вычисляется как: $AD = \sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$.
• В прямоугольном треугольнике $\triangle ADE$ (прямой угол при D) катеты $AD = \sqrt{3}$ и $DE = 1$. Гипотенуза $AE$ вычисляется как: $AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
• В прямоугольном треугольнике $\triangle AEF$ (прямой угол при E) катеты $AE = 2$ и $EF = 1$. Гипотенуза $AF$ вычисляется как: $AF = \sqrt{AE^2 + EF^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.
• В прямоугольном треугольнике $\triangle AFG$ (прямой угол при F) катеты $AF = \sqrt{5}$ и $FG = 1$. Гипотенуза $AG$ вычисляется как: $AG = \sqrt{AF^2 + FG^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2} = \sqrt{5 + 1} = \sqrt{6}$.

Ответ: $AB = \sqrt{2}$, $AD = \sqrt{3}$, $AE = 2$, $AF = \sqrt{5}$, $AG = \sqrt{6}$.

2)

Чтобы получить отрезок длиной $\sqrt{8}$, необходимо продолжить построение фигуры по тому же принципу. Текущий последний отрезок — $AG$ с длиной $\sqrt{6}$.

1. Построим прямоугольный треугольник $\triangle AGH$ с прямым углом при вершине G. Катетами будут отрезок $AG = \sqrt{6}$ и новый отрезок $GH=1$. Гипотенуза $AH$ будет иметь длину: $AH = \sqrt{AG^2 + GH^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 1^2} = \sqrt{6 + 1} = \sqrt{7}$.
2. Далее, построим прямоугольный треугольник $\triangle AHI$ с прямым углом при вершине H. Катетами будут отрезок $AH = \sqrt{7}$ и новый отрезок $HI=1$. Гипотенуза $AI$ будет иметь длину: $AI = \sqrt{AH^2 + HI^2} = \sqrt{(\sqrt{7})^2 + 1^2} = \sqrt{7 + 1} = \sqrt{8}$.

Ответ: Для получения отрезка длиной $\sqrt{8}$, нужно последовательно достроить два прямоугольных треугольника: $\triangle AGH$ с катетами $AG$ и $GH=1$, а затем $\triangle AHI$ с катетами $AH$ и $HI=1$. Искомым отрезком будет $AI$.

3)

Более простой приём для построения отрезков с заданными иррациональными длинами основан на теореме Пифагора. Если длину отрезка нужно получить в виде $\sqrt{N}$, можно построить прямоугольный треугольник, гипотенуза которого будет иметь искомую длину. Для этого необходимо, чтобы число $N$ можно было представить в виде суммы квадратов катетов: $N = a^2 + b^2$. Для указанных длин это можно сделать с целочисленными катетами.

• Для $\sqrt{10}$: Представим 10 как сумму квадратов: $10 = 1^2 + 3^2$. Нужно построить прямоугольный треугольник с катетами 1 и 3. Его гипотенуза будет равна $\sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}$.
• Для $\sqrt{13}$: Представим 13 как сумму квадратов: $13 = 2^2 + 3^2$. Нужно построить прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3. Его гипотенуза будет равна $\sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$.
• Для $\sqrt{17}$: Представим 17 как сумму квадратов: $17 = 1^2 + 4^2$. Нужно построить прямоугольный треугольник с катетами 1 и 4. Его гипотенуза будет равна $\sqrt{1^2+4^2} = \sqrt{17}$.

Этот способ проще, так как для каждой длины требуется построить всего один треугольник, что особенно удобно на клетчатой бумаге.

Ответ: Указанные длины можно построить как гипотенузы прямоугольных треугольников с целочисленными катетами: для $\sqrt{10}$ катеты равны 1 и 3; для $\sqrt{13}$ катеты равны 2 и 3; для $\sqrt{17}$ катеты равны 1 и 4.