Номер 2.57, страница 78 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Теорема Пифагора. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.57, страница 78.

Условие.

2.57 Группа туристов прошла от своего лагеря 1,6 км строго на запад, затем 3,2 км на север, а затем несколько километров на восток и остановилась на ночлег. Точка ночлега находилась в 6,4 км от их лагеря. Сколько километров туристы шли в восточном направлении?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи представим перемещения туристов на координатной плоскости. Пусть лагерь находится в начале координат (0,0). Ось X направим на восток, а ось Y — на север.

Движение туристов состоит из трех частей. Первое — на 1,6 км на запад, что соответствует смещению по оси X на -1,6. Второе — на 3,2 км на север, что соответствует смещению по оси Y на +3,2. Третье — на восток на неизвестное расстояние $x$ км, что является смещением по оси X на +$x$.

Найдем общее смещение по каждой оси. Смещение по оси X (восток-запад) равно $\Delta x = x - 1,6$ км. Смещение по оси Y (север-юг) равно $\Delta y = 3,2$ км.

Итоговое положение туристов — это точка с координатами $(\Delta x, \Delta y)$. Расстояние по прямой от лагеря (начало координат) до точки ночлега (конечная точка) является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат итоговые смещения $\Delta x$ и $\Delta y$. По условию, длина этой гипотенузы составляет 6,4 км.

Применим теорему Пифагора: $(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 = (\text{гипотенуза})^2$.

Подставим известные значения в формулу:

$(x - 1,6)^2 + (3,2)^2 = (6,4)^2$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$(x - 1,6)^2 + 10,24 = 40,96$

Вычтем 10,24 из обеих частей:

$(x - 1,6)^2 = 40,96 - 10,24$

$(x - 1,6)^2 = 30,72$

Извлечем квадратный корень. Так как $x$ — это пройденное расстояние, оно должно быть положительным. Поэтому мы рассматриваем только положительный корень, который приведет к положительному $x$.

$x - 1,6 = \sqrt{30,72}$

Упростим выражение под корнем: $30,72 = 3 \times 10,24 = 3 \times (3,2)^2$. Тогда:

$x - 1,6 = \sqrt{3 \times (3,2)^2} = 3,2\sqrt{3}$

Найдем $x$:

$x = 1,6 + 3,2\sqrt{3}$

Для получения численного ответа используем приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1,732$:

$x \approx 1,6 + 3,2 \times 1,732 = 1,6 + 5,5424 \approx 7,1424$ км.

Округлим результат до двух знаков после запятой.

Ответ: Туристы шли в восточном направлении примерно 7,14 км.