Номер 1, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. Квадратный корень (алгебраический подход). Вопросы к параграфу. Глава 2. Квадратные корни - номер 1, страница 82.

Условие.

Сформулируйте определение квадратного корня (фрагмент 1).

Решение 4.

Сформулируйте определение квадратного корня (фрагмент 1).

В математике, особенно в школьном курсе, под понятием "квадратный корень" обычно подразумевают арифметический квадратный корень. Существует также более общее, алгебраическое определение.

Арифметический квадратный корень

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.

Арифметический квадратный корень обозначается знаком радикала: $\sqrt{a}$. Число $a$ под знаком корня называется подкоренным выражением. Исходя из определения, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $a \ge 0$.

Таким образом, равенство $\sqrt{a} = x$ является верным тогда и только тогда, когда выполняются два условия:

1. $x \ge 0$ (корень является неотрицательным числом)
2. $x^2 = a$ (квадрат этого числа равен подкоренному выражению)

Примеры:

• $\sqrt{64} = 8$, так как $8 \ge 0$ и $8^2 = 64$.
• $\sqrt{0.25} = 0.5$, так как $0.5 \ge 0$ и $0.5^2 = 0.25$.
• Выражение $\sqrt{-4}$ не определено (не имеет смысла) в множестве действительных чисел, так как подкоренное выражение $a = -4$ является отрицательным.

Алгебраический квадратный корень

В более широком смысле, квадратным корнем из числа $a$ называют любое число $x$, которое удовлетворяет уравнению $x^2 = a$. В этом случае у положительного числа $a$ есть два квадратных корня: $\sqrt{a}$ и $-\sqrt{a}$. Например, алгебраическими квадратными корнями из числа 64 являются 8 и -8. Однако, стандартное обозначение $\sqrt{64}$ всегда указывает именно на арифметический корень, то есть на 8.

Ответ:
Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Математически это определение записывается так: равенство $\sqrt{a} = x$ справедливо, если выполняются два условия: $x \ge 0$ и $x^2 = a$.