Номер 2, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. Квадратный корень (алгебраический подход). Вопросы к параграфу. Глава 2. Квадратные корни - номер 2, страница 82.

Условие.

Разберите фрагмент 2 и ответьте на вопросы:

Сколько существует квадратных корней из положительного числа? Как их обозначают? Проиллюстрируйте свой ответ графически. Найдите квадратные корни из числа $a$, если $a = 9$; $7$.

Чему равен квадратный корень из $0$ и как его обозначают?

Объясните, почему не существует квадратного корня из отрицательного числа.

Решение 4.

Сколько существует квадратных корней из положительного числа? Как их обозначают? Проиллюстрируйте свой ответ графически. Найдите квадратные корни из числа a, если a = 9; 7.

Из любого положительного числа $a$ существует два квадратных корня. Это связано с тем, что квадрат как положительного, так и отрицательного числа является положительным числом. Например, $3^2 = 9$ и $(-3)^2 = 9$.

Квадратные корни из положительного числа $a$ — это два противоположных числа. Положительный корень называют арифметическим квадратным корнем и обозначают символом $\sqrt{a}$. Второй, отрицательный корень, обозначают как $-\sqrt{a}$. Вместе их можно записать как $\pm\sqrt{a}$.

Графически найти квадратные корни из числа $a > 0$ можно, найдя точки пересечения графика функции $y = x^2$ (парабола) и графика функции $y = a$ (горизонтальная прямая).

Парабола $y = x^2$ имеет вершину в начале координат (0,0) и ее ветви направлены вверх. Горизонтальная прямая $y=a$ при $a>0$ расположена выше оси абсцисс. Эти два графика пересекаются в двух точках, симметричных относительно оси ординат. Абсциссы (координаты по оси $x$) этих точек пересечения и являются квадратными корнями из числа $a$. Координаты этих точек: $(-\sqrt{a}, a)$ и $(\sqrt{a}, a)$. Таким образом, абсциссы равны $-\sqrt{a}$ и $\sqrt{a}$.

Найдем квадратные корни для заданных чисел:

• Если $a=9$, то квадратные корни — это числа, квадрат которых равен 9. Это числа 3 и -3. Таким образом, $\pm\sqrt{9} = \pm3$.
• Если $a=7$, то квадратные корни — это числа, квадрат которых равен 7. Так как 7 не является полным квадратом, корни являются иррациональными числами. Это числа $\sqrt{7}$ и $-\sqrt{7}$. Таким образом, квадратные корни из 7 это $\pm\sqrt{7}$.

Ответ: Из положительного числа существует два квадратных корня: $\sqrt{a}$ и $-\sqrt{a}$. Корни из 9 равны 3 и -3. Корни из 7 равны $\sqrt{7}$ и $-\sqrt{7}$.

Чему равен квадратный корень из 0 и как его обозначают?

Квадратный корень из числа 0 — это такое число $x$, для которого выполняется равенство $x^2 = 0$. Единственным числом, удовлетворяющим этому условию, является 0, так как $0^2 = 0$. Следовательно, у числа 0 существует только один квадратный корень.

Обозначают его так же, как и арифметический квадратный корень: $\sqrt{0}$.

Ответ: Квадратный корень из 0 равен 0. Обозначается как $\sqrt{0}$.

Объясните, почему не существует квадратного корня из отрицательного числа.

В области действительных (вещественных) чисел квадратный корень из отрицательного числа не существует. Это следует из определения квадратного корня и свойств умножения действительных чисел.

По определению, квадратный корень из числа $a$ — это число $x$, такое что $x^2 = a$.

Рассмотрим квадрат любого действительного числа $x$:

• Если $x$ — положительное число ($x > 0$), то его квадрат $x^2$ также является положительным числом.
• Если $x$ — отрицательное число ($x < 0$), то его квадрат $x^2$ все равно является положительным числом, так как произведение двух отрицательных чисел положительно (например, $(-5)^2 = 25$).
• Если $x=0$, то его квадрат $x^2$ равен 0.

Таким образом, квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным числом, то есть $x^2 \geq 0$.

Следовательно, не существует такого действительного числа $x$, квадрат которого был бы отрицательным. Поэтому уравнение $x^2 = a$, где $a < 0$, не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: Квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом ($x^2 \geq 0$), поэтому не существует действительного числа, квадрат которого был бы равен отрицательному числу.