Номер 4, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.4. Квадратный корень (алгебраический подход). Вопросы к параграфу. Глава 2. Квадратные корни - номер 4, страница 82.

Условие.

Приведите пример уравнения вида $x^2 = a$, которое:

Имеет два корня;

Не имеет корней (фрагмент 4).

Решение 4.

имеет два корня

Уравнение вида $x^2 = a$ имеет два корня, если число $a$ является положительным ($a > 0$). В этом случае корнями уравнения являются $x_1 = \sqrt{a}$ и $x_2 = -\sqrt{a}$.

Для примера возьмем $a = 16$. Уравнение примет вид:

$x^2 = 16$

Это уравнение имеет два действительных корня, так как можно найти два числа, квадрат которых равен 16:

$x_1 = \sqrt{16} = 4$

$x_2 = -\sqrt{16} = -4$

Проверка: $4^2 = 16$ и $(-4)^2 = 16$.

Ответ: $x^2 = 16$.

не имеет корней

Уравнение вида $x^2 = a$ не имеет корней (в множестве действительных чисел), если число $a$ является отрицательным ($a < 0$).

Это следует из свойства степени: квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, $x^2$ не может быть равен отрицательному числу.

Для примера возьмем $a = -9$. Уравнение примет вид:

$x^2 = -9$

Данное уравнение не имеет действительных корней, потому что нет такого действительного числа, которое при возведении в квадрат дало бы отрицательный результат.

Ответ: $x^2 = -9$.