Номер 2.62, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Теорема Пифагора. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.62, страница 79.

Условие.

2.62 а) Убедитесь, что $\sqrt{3^2 + 4^2} \neq 3 + 4$. Покажите геометрически, что если $a$ и $b$ — положительные числа, то $\sqrt{a^2 + b^2} < a + b$.

б) Покажите геометрически, что если $a$, $b$ и $c$ — положительные числа, то $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} < a + b + c$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Сначала убедимся, что $\sqrt{3^2 + 4^2} \neq 3 + 4$.

Вычислим левую часть выражения: $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Вычислим правую часть выражения: $3 + 4 = 7$.

Поскольку $5 \neq 7$, данное утверждение верно.

Теперь покажем геометрически, что если $a$ и $b$ — положительные числа, то $\sqrt{a^2 + b^2} < a + b$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$. Согласно теореме Пифагора, длина его гипотенузы равна $\sqrt{a^2 + b^2}$. Сумма длин катетов этого треугольника равна $a + b$.

Неравенство $\sqrt{a^2 + b^2} < a + b$ является прямым следствием неравенства треугольника, которое гласит, что длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон. В нашем случае, длина гипотенузы ($\sqrt{a^2 + b^2}$) меньше суммы длин катетов ($a+b$). Геометрически это означает, что кратчайший путь между двумя вершинами (концами гипотенузы) — это отрезок прямой, соединяющий их, а путь вдоль двух катетов является более длинным, "обходным" путем.

Ответ: Проверка показала, что $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$, а $3+4=7$, то есть $\sqrt{3^2 + 4^2} \neq 3+4$. Неравенство $\sqrt{a^2+b^2} < a+b$ геометрически соответствует неравенству треугольника для прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $\sqrt{a^2+b^2}$.

б) Покажем геометрически, что если $a, b$ и $c$ — положительные числа, то $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} < a + b + c$.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с ребрами $a, b$ и $c$, выходящими из одной вершины. Выражение $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ представляет собой длину пространственной диагонали этого параллелепипеда, которая соединяет две наиболее удаленные друг от друга вершины.

Сумма $a + b + c$ представляет собой длину ломаной линии, которая соединяет те же две вершины, но проходит последовательно вдоль трех ребер параллелепипеда.

В трехмерном пространстве, как и на плоскости, кратчайшим расстоянием между двумя точками является длина отрезка прямой, соединяющего эти точки. В нашей задаче таким отрезком является пространственная диагональ. Любой другой путь между этими двумя вершинами, например, путь вдоль ребер, будет длиннее.

Следовательно, длина пространственной диагонали меньше суммы длин трех ребер, образующих путь между теми же вершинами: $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} < a + b + c$.

Это также можно показать, дважды применив неравенство из пункта а). Диагональ основания параллелепипеда равна $\sqrt{a^2+b^2}$. Эта диагональ и ребро $c$ являются катетами нового прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является пространственная диагональ. Применяя к этому треугольнику неравенство из пункта а), получаем: $\sqrt{(\sqrt{a^2+b^2})^2+c^2} < \sqrt{a^2+b^2} + c$. Так как $\sqrt{a^2+b^2} < a+b$, то окончательно имеем: $\sqrt{a^2+b^2+c^2} < \sqrt{a^2+b^2} + c < (a+b)+c = a+b+c$.

Ответ: Геометрически неравенство $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} < a + b + c$ означает, что длина пространственной диагонали прямоугольного параллелепипеда со сторонами $a, b, c$ (прямой путь) меньше суммы длин трех его ребер, выходящих из одной вершины (ломаный путь).