Номер 2.59, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Теорема Пифагора. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.59, страница 79.

Условие.

2.59 ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

На координатной плоскости отмечены точки $A$ и $B$. Найдите расстояние между этими точками, если известны их координаты (сделайте рисунок):

1) $A (1; 8)$, $B (7; 0)$;

2) $A (1; 3)$, $B (13; 8)$;

3) $A (80; 54)$, $B (83; 50)$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для нахождения расстояния между двумя точками $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ на координатной плоскости, мы можем использовать теорему Пифагора. Если мы построим прямоугольный треугольник, где отрезок $AB$ является гипотенузой, а катеты параллельны осям координат, то длины катетов будут равны $|x_2 - x_1|$ и $|y_2 - y_1|$. Таким образом, расстояние $d$ (длина гипотенузы $AB$) вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

1) A (1; 8), B (7; 0)
Для нахождения расстояния между точками A и B применим указанную формулу. Подставим координаты точек: $x_1 = 1$, $y_1 = 8$, $x_2 = 7$, $y_2 = 0$.
Для построения рисунка отметим точки A и B на координатной плоскости. Достроим прямоугольный треугольник, проведя через точку A прямую, параллельную оси $Ox$, и через точку B — прямую, параллельную оси $Oy$. Точка их пересечения C будет иметь координаты $(7; 8)$. Катеты этого треугольника $AC$ и $BC$ имеют длины:
$AC = |x_2 - x_1| = |7 - 1| = 6$
$BC = |y_2 - y_1| = |0 - 8| = 8$
Расстояние $AB$ (гипотенуза) равно:
$AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
Ответ: 10.

2) A (1; 3), B (13; 8)
Подставим координаты точек A и B в формулу расстояния: $x_1 = 1$, $y_1 = 3$, $x_2 = 13$, $y_2 = 8$.
На рисунке мы снова можем построить прямоугольный треугольник с вершиной прямого угла в точке $C(13; 3)$. Катеты $AC$ и $BC$ будут иметь длины:
$AC = |x_2 - x_1| = |13 - 1| = 12$
$BC = |y_2 - y_1| = |8 - 3| = 5$
Вычислим расстояние $AB$:
$AB = \sqrt{(13 - 1)^2 + (8 - 3)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.
Ответ: 13.

3) A (80; 54), B (83; 50)
Подставим координаты точек A и B в формулу: $x_1 = 80$, $y_1 = 54$, $x_2 = 83$, $y_2 = 50$.
Схематический рисунок будет представлять собой прямоугольный треугольник с вершиной прямого угла в точке $C(83; 54)$. Длины катетов $AC$ и $BC$ равны:
$AC = |x_2 - x_1| = |83 - 80| = 3$
$BC = |y_2 - y_1| = |50 - 54| = |-4| = 4$
Найдем расстояние $AB$:
$AB = \sqrt{(83 - 80)^2 + (50 - 54)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: 5.