Номер 2.61, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Теорема Пифагора. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.61, страница 79.

Условие.

РАССУЖДАЕМ (2.61–2.62)

2.61 Прямоугольный параллелепипед имеет измерения $a$, $b$ и $c$ (рис. 2.23).

а) Выразите диагональ $d$ прямоугольного параллелепипеда через его измерения.

б) Используя полученную формулу, вычислите $d$, если $a = 3$ см, $b = 4$ см, $c = 12$ см.

в) Выразите из полученной формулы ребро $c$. Найдите $c$, если $d = 17$ см, $a = 9$ см, $b = 12$ см.

Рис. 2.23

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы вывести формулу для диагонали $d$ прямоугольного параллелепипеда, необходимо дважды применить теорему Пифагора.
1. Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник, лежащий в основании параллелепипеда. Его катеты — это рёбра $a$ и $b$, а гипотенуза — диагональ основания, которую обозначим $d_{осн}$. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$d_{осн}^2 = a^2 + b^2$
2. Далее рассмотрим другой прямоугольный треугольник. Его катетами являются диагональ основания $d_{осн}$ и боковое ребро $c$. Гипотенузой этого треугольника является диагональ параллелепипеда $d$. Снова применим теорему Пифагора:
$d^2 = d_{осн}^2 + c^2$
3. Теперь подставим в это равенство выражение для $d_{осн}^2$ из первого шага:
$d^2 = (a^2 + b^2) + c^2 = a^2 + b^2 + c^2$
4. Чтобы найти $d$, извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как длина не может быть отрицательной, берём только положительное значение корня:
$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Ответ: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

б)

Для вычисления диагонали $d$ подставим в полученную формулу заданные значения измерений: $a = 3$ см, $b = 4$ см и $c = 12$ см.
$d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2}$
$d = \sqrt{9 + 16 + 144}$
$d = \sqrt{25 + 144}$
$d = \sqrt{169}$
$d = 13$ см.

Ответ: $13$ см.

в)

Сначала выразим ребро $c$ из формулы квадрата диагонали: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.
Для этого изолируем слагаемое $c^2$, перенеся $a^2$ и $b^2$ в левую часть уравнения:
$c^2 = d^2 - a^2 - b^2$
Извлечём квадратный корень, чтобы найти $c$:
$c = \sqrt{d^2 - a^2 - b^2}$
Теперь подставим в эту формулу известные значения: $d = 17$ см, $a = 9$ см и $b = 12$ см.
$c = \sqrt{17^2 - 9^2 - 12^2}$
$c = \sqrt{289 - 81 - 144}$
$c = \sqrt{208 - 144}$
$c = \sqrt{64}$
$c = 8$ см.

Ответ: $8$ см.