Номер 2.56, страница 78 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.3. Теорема Пифагора. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.56, страница 78.

Условие.

2.56 Найдите диагональ квадрата, если его площадь равна:

а) $25 \text{ см}^2$;

б) $30 \text{ см}^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для нахождения диагонали квадрата через его площадь, воспользуемся следующими соотношениями. Пусть $a$ — сторона квадрата, $S$ — его площадь, а $d$ — диагональ.

Площадь квадрата вычисляется по формуле: $S = a^2$.

С другой стороны, диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника, где стороны квадрата являются катетами, а диагональ — гипотенузой. По теореме Пифагора:

$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Так как $S = a^2$, мы можем подставить площадь в это уравнение:

$d^2 = 2S$

Отсюда формула для вычисления диагонали через площадь:

$d = \sqrt{2S}$

Теперь решим задачу для каждого случая.

а)

Площадь квадрата равна $S = 25 \text{ см}^2$.

Подставим это значение в нашу формулу:

$d = \sqrt{2 \cdot 25} = \sqrt{50}$

Упростим корень:

$d = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \text{ см}$

Ответ: $5\sqrt{2}$ см.

б)

Площадь квадрата равна $S = 30 \text{ см}^2$.

Подставим это значение в формулу:

$d = \sqrt{2 \cdot 30} = \sqrt{60}$

Упростим корень:

$d = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15} \text{ см}$

Ответ: $2\sqrt{15}$ см.