Номер 2.90, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.5. График зависимости у =x. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.90, страница 88.

Условие.

2.90 Расположите в порядке возрастания числа:

а) $0,5$, $\sqrt{0,5}$ и $0,5^2$;

б) $12,5$, $\sqrt{12,5}$ и $12,5^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы расположить числа $0,5$, $\sqrt{0,5}$ и $0,5^2$ в порядке возрастания, воспользуемся общим правилом сравнения числа $a$, его квадрата $a^2$ и его квадратного корня $\sqrt{a}$.

Рассмотрим случай, когда $0 < a < 1$.

1. Сравним $a$ и $a^2$. Умножим обе части верного неравенства $a < 1$ на положительное число $a$. Получим $a \cdot a < 1 \cdot a$, что равносильно $a^2 < a$.

2. Сравним $a$ и $\sqrt{a}$. Поскольку оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты: $a^2$ и $(\sqrt{a})^2 = a$. Как мы уже установили, $a^2 < a$. Так как функция квадратного корня возрастающая для положительных чисел, из $a^2 < a$ следует, что $\sqrt{a^2} < \sqrt{a}$, то есть $a < \sqrt{a}$.

Таким образом, для любого числа $a$ из интервала $(0, 1)$ справедливо следующее двойное неравенство: $a^2 < a < \sqrt{a}$.

В нашем случае число $a = 0,5$, и для него выполняется условие $0 < 0,5 < 1$. Следовательно, мы можем применить выведенное правило:

$0,5^2 < 0,5 < \sqrt{0,5}$.

Ответ: $0,5^2; 0,5; \sqrt{0,5}$.

б)

Чтобы расположить числа $12,5$, $\sqrt{12,5}$ и $12,5^2$ в порядке возрастания, также воспользуемся общим правилом, но для случая, когда $a > 1$.

Рассмотрим случай, когда $a > 1$.

1. Сравним $a$ и $a^2$. Умножим обе части верного неравенства $a > 1$ на положительное число $a$. Получим $a \cdot a > 1 \cdot a$, что равносильно $a^2 > a$.

2. Сравним $a$ и $\sqrt{a}$. Поскольку оба числа положительны, сравним их квадраты: $a^2$ и $(\sqrt{a})^2 = a$. Мы уже установили, что $a^2 > a$. Так как функция квадратного корня возрастающая, из $a^2 > a$ следует, что $\sqrt{a^2} > \sqrt{a}$, то есть $a > \sqrt{a}$.

Таким образом, для любого числа $a > 1$ справедливо следующее двойное неравенство: $\sqrt{a} < a < a^2$.

В нашем случае число $a = 12,5$, и для него выполняется условие $12,5 > 1$. Следовательно, мы можем применить выведенное правило:

$\sqrt{12,5} < 12,5 < 12,5^2$.

Ответ: $\sqrt{12,5}; 12,5; 12,5^2$.