Номер 5, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Вопросы к параграфу. Глава 2. Квадратные корни - номер 5, страница 91.

Условие.

На примере преобразования выражения $\sqrt{63}$ расскажите, как выносят множитель из-под знака корня (фрагмент 4).

Решение 4.

Вынесение множителя из-под знака корня — это преобразование, которое позволяет упростить выражение, содержащее корень. Рассмотрим этот процесс на примере выражения $\sqrt{63}$.

Алгоритм действий следующий:

1. Разложить подкоренное выражение на множители. Необходимо представить число под знаком корня (в данном случае 63) в виде произведения, где хотя бы один из множителей является полным квадратом. Полные квадраты — это числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень (например: 4, 9, 16, 25 и т.д.).
   Для числа 63 мы можем найти такие множители. Заметим, что 63 делится на 9, а 9 — это полный квадрат, так как $3^2 = 9$.
   Таким образом, мы представляем 63 в виде произведения: $63 = 9 \cdot 7$.

2. Использовать свойство корня из произведения. Это свойство гласит, что корень из произведения равен произведению корней из множителей: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для неотрицательных $a$ и $b$).
   Применим это свойство к нашему выражению: $\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{7}$.

3. Извлечь корень из полного квадрата. Теперь вычисляем значение корня из того множителя, который является полным квадратом.
   В нашем случае это $\sqrt{9} = 3$.
   Множитель 7 не является полным квадратом, поэтому он остается под знаком корня.

4. Записать итоговый результат. Объединяем полученные части. Выражение $\sqrt{9} \cdot \sqrt{7}$ превращается в $3 \cdot \sqrt{7}$. Знак умножения между числом и корнем принято опускать.
   Следовательно, итоговое преобразование выглядит так: $\sqrt{63} = 3\sqrt{7}$.

Таким образом, мы вынесли множитель 3 из-под знака корня, упростив выражение $\sqrt{63}$ до $3\sqrt{7}$.

Ответ: $\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{7}$.