Номер 2.98, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.98, страница 92.

Условие.

2.98 a) $\sqrt{\frac{1}{16} \cdot \frac{9}{25}}$

б) $\sqrt{\frac{64}{9} \cdot \frac{4}{49}}$

в) $\sqrt{\frac{0,25 \cdot 49}{9}}$

г) $\sqrt{\frac{169 \cdot 81}{400}}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы вычислить значение выражения $\sqrt{\frac{1}{16} \cdot \frac{9}{25}}$, можно использовать свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

$\sqrt{\frac{1}{16} \cdot \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{1}{16}} \cdot \sqrt{\frac{9}{25}}$

Далее применим свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ к каждому множителю:

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 5} = \frac{3}{20}$.

В качестве альтернативного решения можно сначала выполнить умножение под корнем:

$\sqrt{\frac{1 \cdot 9}{16 \cdot 25}} = \sqrt{\frac{9}{400}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{400}} = \frac{3}{20}$.

Ответ: $\frac{3}{20}$.

б)

Для вычисления выражения $\sqrt{\frac{64}{9} \cdot \frac{4}{49}}$ воспользуемся свойством корня из произведения, разделив выражение на два корня:

$\sqrt{\frac{64}{9} \cdot \frac{4}{49}} = \sqrt{\frac{64}{9}} \cdot \sqrt{\frac{4}{49}}$

Теперь извлечем корень из каждой дроби, используя свойство корня из частного:

$\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{9}} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{49}} = \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{7}$

Перемножим полученные дроби:

$\frac{8 \cdot 2}{3 \cdot 7} = \frac{16}{21}$.

Ответ: $\frac{16}{21}$.

в)

Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{0,25 \cdot 49}{9}}$. Для удобства вычислений преобразуем десятичную дробь $0,25$ в обыкновенную: $0,25 = \frac{1}{4}$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\sqrt{\frac{\frac{1}{4} \cdot 49}{9}} = \sqrt{\frac{49/4}{9}} = \sqrt{\frac{49}{4 \cdot 9}} = \sqrt{\frac{49}{36}}$.

Теперь извлечем корень из числителя и знаменателя:

$\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{36}} = \frac{7}{6}$.

Полученную неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа: $1\frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{7}{6}$.

г)

Для вычисления $\sqrt{\frac{169 \cdot 81}{400}}$ применим свойство корня из дроби, которое позволяет извлечь корень из числителя и знаменателя по отдельности:

$\sqrt{\frac{169 \cdot 81}{400}} = \frac{\sqrt{169 \cdot 81}}{\sqrt{400}}$

Далее используем свойство корня из произведения для числителя:

$\frac{\sqrt{169} \cdot \sqrt{81}}{\sqrt{400}}$

Извлечем корни из каждого числа: $\sqrt{169} = 13$, $\sqrt{81} = 9$ и $\sqrt{400} = 20$.

Подставим значения и вычислим результат:

$\frac{13 \cdot 9}{20} = \frac{117}{20}$.

Эту дробь можно перевести в десятичную: $\frac{117}{20} = 5,85$, или представить в виде смешанного числа: $5\frac{17}{20}$.

Ответ: $\frac{117}{20}$.