Номер 2.101, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.101, страница 92.

Условие.

2.101 Пользуясь свойством, доказанным в упражнении 2.100, упростите выражение:

а) $\sqrt{2^{22}}$;

б) $\sqrt{3^{14}}$;

в) $\sqrt{2^{100} \cdot 3^{50}}$;

г) $\sqrt{5^{28} \cdot 2^{20}}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для упрощения данных выражений используется свойство квадратного корня из степени с четным показателем. Вероятно, в упражнении 2.100 было доказано свойство: для любого неотрицательного числа $a$ и натурального числа $k$ справедливо равенство $\sqrt{a^{2k}} = a^k$.

Это свойство легко получить, представив квадратный корень как степень с показателем $\frac{1}{2}$ и использовав свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:

$\sqrt{a^{2k}} = (a^{2k})^{\frac{1}{2}} = a^{2k \cdot \frac{1}{2}} = a^k$.

Применим это свойство к каждому выражению.

а) $\sqrt{2^{22}}$

В данном случае $a = 2$, а показатель степени $22 = 2 \cdot 11$, то есть $k=11$.

$\sqrt{2^{22}} = \sqrt{2^{2 \cdot 11}} = 2^{11}$.

Ответ: $2^{11}$.

б) $\sqrt{3^{14}}$

Здесь $a = 3$, а показатель степени $14 = 2 \cdot 7$, то есть $k=7$.

$\sqrt{3^{14}} = \sqrt{3^{2 \cdot 7}} = 3^{7}$.

Ответ: $3^7$.

в) $\sqrt{2^{100} \cdot 3^{50}}$

Сначала используем свойство корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ (для $x \geq 0, y \geq 0$):

$\sqrt{2^{100} \cdot 3^{50}} = \sqrt{2^{100}} \cdot \sqrt{3^{50}}$.

Теперь упростим каждый множитель по отдельности:

$\sqrt{2^{100}} = \sqrt{2^{2 \cdot 50}} = 2^{50}$.

$\sqrt{3^{50}} = \sqrt{3^{2 \cdot 25}} = 3^{25}$.

Полученное выражение: $2^{50} \cdot 3^{25}$.

Для дальнейшего упрощения приведем степени к общему показателю. Заметим, что $50 = 2 \cdot 25$.

$2^{50} \cdot 3^{25} = 2^{2 \cdot 25} \cdot 3^{25} = (2^2)^{25} \cdot 3^{25} = 4^{25} \cdot 3^{25}$.

Используя свойство произведения степеней с одинаковыми показателями $x^n \cdot y^n = (xy)^n$, получаем:

$(4 \cdot 3)^{25} = 12^{25}$.

Ответ: $12^{25}$.

г) $\sqrt{5^{28} \cdot 2^{20}}$

Как и в предыдущем пункте, воспользуемся свойством корня из произведения:

$\sqrt{5^{28} \cdot 2^{20}} = \sqrt{5^{28}} \cdot \sqrt{2^{20}}$.

Упрощаем каждый множитель:

$\sqrt{5^{28}} = \sqrt{5^{2 \cdot 14}} = 5^{14}$.

$\sqrt{2^{20}} = \sqrt{2^{2 \cdot 10}} = 2^{10}$.

Получаем выражение: $5^{14} \cdot 2^{10}$.

Чтобы упростить его, выделим множитель с одинаковой степенью. Наименьший показатель — 10.

$5^{14} = 5^{4+10} = 5^4 \cdot 5^{10}$.

Подставим это в выражение:

$5^4 \cdot 5^{10} \cdot 2^{10} = 5^4 \cdot (5^{10} \cdot 2^{10})$.

Применим свойство произведения степеней:

$5^4 \cdot (5 \cdot 2)^{10} = 5^4 \cdot 10^{10}$.

Вычислим $5^4 = 625$.

Окончательный вид выражения: $625 \cdot 10^{10}$.

Ответ: $625 \cdot 10^{10}$.