Номер 2.103, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.103, страница 92.

Условие.

2.103 а) $\sqrt{125 \cdot 5}$;

б) $\sqrt{8 \cdot 98}$;

в) $\sqrt{48 \cdot 27}$;

г) $\sqrt{810 \cdot 10}$;

д) $\sqrt{50 \cdot 72}$;

е) $\sqrt{30 \cdot 480}$.

Образец. $\sqrt{135 \cdot 15} = \sqrt{5 \cdot 27 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt{5^2 \cdot 3^4} = 45$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt{125 \cdot 5}$ представим число 125 в виде произведения $25 \cdot 5$. Таким образом, мы выделяем множитель, являющийся полным квадратом.
$\sqrt{125 \cdot 5} = \sqrt{(25 \cdot 5) \cdot 5} = \sqrt{25 \cdot 5^2}$
Используя свойство корня из произведения, получаем:
$\sqrt{25 \cdot 5^2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5^2} = 5 \cdot 5 = 25$.
Ответ: 25

б) Чтобы найти значение $\sqrt{8 \cdot 98}$, разложим оба числа под корнем на множители: $8 = 4 \cdot 2$ и $98 = 49 \cdot 2$.
Подставим эти разложения в исходное выражение:
$\sqrt{8 \cdot 98} = \sqrt{(4 \cdot 2) \cdot (49 \cdot 2)} = \sqrt{4 \cdot 49 \cdot (2 \cdot 2)} = \sqrt{4 \cdot 49 \cdot 2^2}$
Теперь извлечем корень из каждого множителя, которые являются полными квадратами:
$\sqrt{4} \cdot \sqrt{49} \cdot \sqrt{2^2} = 2 \cdot 7 \cdot 2 = 28$.
Ответ: 28

в) В примере $\sqrt{48 \cdot 27}$ разложим подкоренные числа на множители, чтобы выделить полные квадраты: $48 = 16 \cdot 3$ и $27 = 9 \cdot 3$.
Получаем:
$\sqrt{48 \cdot 27} = \sqrt{(16 \cdot 3) \cdot (9 \cdot 3)} = \sqrt{16 \cdot 9 \cdot (3 \cdot 3)} = \sqrt{16 \cdot 9 \cdot 3^2}$
Извлекая корень из каждого множителя, находим результат:
$\sqrt{16} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{3^2} = 4 \cdot 3 \cdot 3 = 36$.
Ответ: 36

г) Вычислим $\sqrt{810 \cdot 10}$. Заметим, что $810 = 81 \cdot 10$.
Подставив это в выражение, имеем:
$\sqrt{810 \cdot 10} = \sqrt{(81 \cdot 10) \cdot 10} = \sqrt{81 \cdot 10^2}$
Поскольку 81 и $10^2$ — полные квадраты, извлечение корня упрощается:
$\sqrt{81} \cdot \sqrt{10^2} = 9 \cdot 10 = 90$.
Ответ: 90

д) Для нахождения значения $\sqrt{50 \cdot 72}$ разложим числа 50 и 72 на множители с выделением полных квадратов: $50 = 25 \cdot 2$ и $72 = 36 \cdot 2$.
Подставляем в выражение:
$\sqrt{50 \cdot 72} = \sqrt{(25 \cdot 2) \cdot (36 \cdot 2)} = \sqrt{25 \cdot 36 \cdot (2 \cdot 2)} = \sqrt{25 \cdot 36 \cdot 4}$
Извлекаем корень из каждого множителя:
$\sqrt{25} \cdot \sqrt{36} \cdot \sqrt{4} = 5 \cdot 6 \cdot 2 = 60$.
Ответ: 60

е) Чтобы вычислить $\sqrt{30 \cdot 480}$, представим множители в более удобном виде: $30 = 3 \cdot 10$ и $480 = 48 \cdot 10$.
Выражение принимает вид:
$\sqrt{30 \cdot 480} = \sqrt{(3 \cdot 10) \cdot (48 \cdot 10)} = \sqrt{3 \cdot 48 \cdot 10^2}$
Далее, разложим 48 как $3 \cdot 16$:
$\sqrt{3 \cdot (3 \cdot 16) \cdot 10^2} = \sqrt{3^2 \cdot 16 \cdot 10^2}$
Теперь извлечем корень из каждого множителя, являющегося полным квадратом:
$\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{10^2} = 3 \cdot 4 \cdot 10 = 120$.
Ответ: 120