Номер 2.108, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.108, страница 93.

Условие.

2.108 Упростите:

а) $2\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}$;

б) $4\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{3}$;

в) $\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}$;

г) $\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{6}}{12}$;

д) $\frac{\sqrt{15} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{10}}{3}$;

е) $\sqrt{\frac{5}{3}} \cdot \sqrt{\frac{12}{5}}$;

ж) $\frac{\sqrt{333}}{\sqrt{111}}$;

з) $\frac{3\sqrt{51}}{2\sqrt{17}}$;

и) $\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{8}}{\sqrt{10}}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение $2\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}$, воспользуемся свойством произведения квадратных корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. Коэффициент перед корнем остается без изменений.

$2\sqrt{7} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{7 \cdot 2} = 2\sqrt{14}$.

Число 14 не имеет множителей, являющихся точными квадратами, поэтому дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $2\sqrt{14}$.

б) Чтобы упростить выражение $4\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{3}$, перемножим отдельно коэффициенты перед корнями и отдельно подкоренные выражения.

$4\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{3} = (4 \cdot 3) \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}) = 12\sqrt{5 \cdot 3} = 12\sqrt{15}$.

Число 15 не имеет множителей, являющихся точными квадратами, поэтому это окончательный вид выражения.

Ответ: $12\sqrt{15}$.

в) Упростим выражение $\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}$. Сгруппируем множители и перемножим подкоренные выражения.

$\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2}) = 3\sqrt{3 \cdot 5 \cdot 2} = 3\sqrt{30}$.

Число 30 не имеет множителей, являющихся точными квадратами ($30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$), поэтому дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $3\sqrt{30}$.

г) Упростим выражение $\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{6}}{12}$. Объединим произведение корней в числителе в один корень.

$\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 6}}{12} = \frac{\sqrt{36}}{12}$.

Теперь извлечем корень из 36 и сократим полученную дробь.

$\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

д) Упростим выражение $\frac{\sqrt{15} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{10}}{3}$. Объединим корни в числителе.

$\frac{\sqrt{15} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{10}}{3} = \frac{\sqrt{15 \cdot 6 \cdot 10}}{3} = \frac{\sqrt{900}}{3}$.

Извлечем корень из 900 и выполним деление.

$\frac{30}{3} = 10$.

Ответ: $10$.

е) Упростим выражение $\sqrt{\frac{5}{3}} \cdot \sqrt{\frac{12}{5}}$. Используем свойство произведения корней.

$\sqrt{\frac{5}{3}} \cdot \sqrt{\frac{12}{5}} = \sqrt{\frac{5}{3} \cdot \frac{12}{5}}$.

Сократим дроби под знаком корня, а затем извлечем корень.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 12}{3 \cdot 5}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: $2$.

ж) Упростим выражение $\frac{\sqrt{333}}{\sqrt{111}}$. Воспользуемся свойством частного квадратных корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.

$\frac{\sqrt{333}}{\sqrt{111}} = \sqrt{\frac{333}{111}} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

з) Упростим выражение $\frac{3\sqrt{51}}{2\sqrt{17}}$. Разделим коэффициенты и корни отдельно.

$\frac{3\sqrt{51}}{2\sqrt{17}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{51}}{\sqrt{17}} = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{51}{17}}$.

Выполним деление под знаком корня.

$\frac{3}{2} \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

и) Упростим выражение $\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{8}}{\sqrt{10}}$. Объединим все множители под один знак корня.

$\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{8}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{5 \cdot 8}{10}} = \sqrt{\frac{40}{10}}$.

Выполним деление под корнем и извлечем результат.

$\sqrt{4} = 2$.

Ответ: $2$.