Номер 2.102, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.102, страница 92.

Условие.

Вычислите (2.102—2.103).

2.102 a) $$\\sqrt{24^2 \\cdot 3^2};$$

б) $$\\sqrt{13^2 \\cdot 2^6};$$

в) $$\\sqrt{2^4 \\cdot 3^2 \\cdot 5^6};$$

г) $$\\sqrt{3^4 \\cdot 5^4 \\cdot 2^8};$$

д) $$\\sqrt{\\frac{3^2 \\cdot 2^8}{5^2}};$$

е) $$\\sqrt{\\frac{3^4}{2^6 \\cdot 5^6}}.$$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для вычисления значения выражения $ \sqrt{24^2 \cdot 3^2} $ воспользуемся свойствами корней и степеней. Можно использовать свойство степеней $ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n $, а затем извлечь корень.
Применим это свойство:
$ \sqrt{24^2 \cdot 3^2} = \sqrt{(24 \cdot 3)^2} $
Вычислим произведение в скобках:
$ 24 \cdot 3 = 72 $
Теперь извлечем корень из полученного выражения:
$ \sqrt{72^2} = 72 $
Ответ: 72

б) Для вычисления $ \sqrt{13^2 \cdot 2^6} $ воспользуемся свойством корня из произведения: $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $.
$ \sqrt{13^2 \cdot 2^6} = \sqrt{13^2} \cdot \sqrt{2^6} $
Теперь извлечем каждый корень по отдельности, используя свойство $ \sqrt{x^{2n}} = x^n $ (для $x \ge 0$).
$ \sqrt{13^2} = 13 $
$ \sqrt{2^6} = \sqrt{(2^3)^2} = 2^3 = 8 $
Перемножим полученные результаты:
$ 13 \cdot 8 = 104 $
Ответ: 104

в) Вычислим $ \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^6} $. Разложим корень из произведения на произведение корней:
$ \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^6} = \sqrt{2^4} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5^6} $
Извлечем каждый корень, представив подкоренное выражение в виде квадрата:
$ \sqrt{2^4} = \sqrt{(2^2)^2} = 2^2 = 4 $
$ \sqrt{3^2} = 3 $
$ \sqrt{5^6} = \sqrt{(5^3)^2} = 5^3 = 125 $
Теперь перемножим все множители:
$ 4 \cdot 3 \cdot 125 = 12 \cdot 125 = 1500 $
Ответ: 1500

г) Вычислим $ \sqrt{3^4 \cdot 5^4 \cdot 2^8} $. Используем свойство корня из произведения:
$ \sqrt{3^4 \cdot 5^4 \cdot 2^8} = \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^4} \cdot \sqrt{2^8} $
Извлечем каждый корень:
$ \sqrt{3^4} = \sqrt{(3^2)^2} = 3^2 = 9 $
$ \sqrt{5^4} = \sqrt{(5^2)^2} = 5^2 = 25 $
$ \sqrt{2^8} = \sqrt{(2^4)^2} = 2^4 = 16 $
Перемножим результаты, для удобства сгруппировав множители:
$ 9 \cdot (25 \cdot 16) = 9 \cdot 400 = 3600 $
Ответ: 3600

д) Вычислим $ \sqrt{\frac{3^2 \cdot 2^8}{5^2}} $. Воспользуемся свойством корня из дроби $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $.
$ \sqrt{\frac{3^2 \cdot 2^8}{5^2}} = \frac{\sqrt{3^2 \cdot 2^8}}{\sqrt{5^2}} $
Вычислим корень в числителе и знаменателе:
Числитель: $ \sqrt{3^2 \cdot 2^8} = \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{(2^4)^2} = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48 $
Знаменатель: $ \sqrt{5^2} = 5 $
Получаем дробь, которую можно перевести в десятичную:
$ \frac{48}{5} = 9.6 $
Ответ: 9.6

е) Вычислим $ \sqrt{\frac{3^4}{2^6 \cdot 5^6}} $. Используем свойство корня из дроби.
$ \sqrt{\frac{3^4}{2^6 \cdot 5^6}} = \frac{\sqrt{3^4}}{\sqrt{2^6 \cdot 5^6}} $
Вычислим числитель:
$ \sqrt{3^4} = \sqrt{(3^2)^2} = 3^2 = 9 $
Вычислим знаменатель, используя свойство $ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n $:
$ \sqrt{2^6 \cdot 5^6} = \sqrt{(2 \cdot 5)^6} = \sqrt{10^6} = \sqrt{(10^3)^2} = 10^3 = 1000 $
Получаем дробь и переводим ее в десятичный вид:
$ \frac{9}{1000} = 0.009 $
Ответ: 0.009