Номер 2.95, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.95, страница 91.

Условие.

2.95 Докажите, что:

а) $ \sqrt{8} = 2\sqrt{2}; $

б) $ \sqrt{45} = 3\sqrt{5}; $

в) $ \sqrt{12} = 2\sqrt{3}; $

г) $ \sqrt{50} = 5\sqrt{2}. $

Образец. Докажем, что $ \sqrt{18} = 3\sqrt{2}. $

Воспользуемся определением арифметического корня. Так как $ 3\sqrt{2} \geq 0 $ и $ (3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18 $, то по определению $ \sqrt{18} = 3\sqrt{2}. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы доказать, что $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, воспользуемся определением арифметического корня. По определению, число $b$ является арифметическим квадратным корнем из числа $a$, если $b \ge 0$ и $b^2 = a$. Проверим эти два условия для выражения $2\sqrt{2}$:

1. Проверим, что выражение неотрицательно: $2 > 0$ и $\sqrt{2} > 0$, следовательно, их произведение $2\sqrt{2} > 0$. Условие выполняется.

2. Возведем выражение в квадрат: $(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$. Результат равен подкоренному выражению.

Так как оба условия выполнены, равенство $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ верно.

Ответ: Доказано.

б) Чтобы доказать, что $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$, воспользуемся определением арифметического корня. Проверим условия для выражения $3\sqrt{5}$:

1. Выражение неотрицательно: $3 > 0$ и $\sqrt{5} > 0$, следовательно, $3\sqrt{5} > 0$.

2. Квадрат выражения: $(3\sqrt{5})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$.

Оба условия выполняются, следовательно, равенство $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ верно.

Ответ: Доказано.

в) Чтобы доказать, что $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, воспользуемся определением арифметического корня. Проверим условия для выражения $2\sqrt{3}$:

1. Выражение неотрицательно: $2 > 0$ и $\sqrt{3} > 0$, следовательно, $2\sqrt{3} > 0$.

2. Квадрат выражения: $(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

Оба условия выполняются, следовательно, равенство $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ верно.

Ответ: Доказано.

г) Чтобы доказать, что $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$, воспользуемся определением арифметического корня. Проверим условия для выражения $5\sqrt{2}$:

1. Выражение неотрицательно: $5 > 0$ и $\sqrt{2} > 0$, следовательно, $5\sqrt{2} > 0$.

2. Квадрат выражения: $(5\sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$.

Оба условия выполняются, следовательно, равенство $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ верно.

Ответ: Доказано.