Номер 2.100, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.100, страница 92.

Условие.

2.100 ДОКАЗЫВАЕМ

а) Докажите, что $\sqrt{5^8} = 5^4$; $\sqrt{3^{20}} = 3^{10}$.

б) Докажите свойство: $\sqrt{a^{2n}} = a^n$, где $a \ge 0$ и $n \in N$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для доказательства равенств воспользуемся определением арифметического квадратного корня. Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $x$ называется такое неотрицательное число $y$, квадрат которого равен $x$. То есть, чтобы доказать, что $\sqrt{x} = y$, нужно проверить два условия:

1. $y \ge 0$

2. $y^2 = x$

Докажем первое равенство: $\sqrt{5^8} = 5^4$.

Здесь $x = 5^8$ и $y = 5^4$.

1. Проверяем, что $y$ неотрицательно. $5^4 = 625$, что является положительным числом, а значит и неотрицательным. Условие выполнено.

2. Проверяем, что квадрат $y$ равен $x$. Возведем $5^4$ в квадрат, используя свойство возведения степени в степень $(b^m)^n = b^{m \cdot n}$:

$(5^4)^2 = 5^{4 \cdot 2} = 5^8$.

Результат $5^8$ совпадает с подкоренным выражением $x$. Условие выполнено.

Поскольку оба условия определения выполнены, равенство $\sqrt{5^8} = 5^4$ верно.

Докажем второе равенство: $\sqrt{3^{20}} = 3^{10}$.

Здесь $x = 3^{20}$ и $y = 3^{10}$.

1. Проверяем, что $y$ неотрицательно. Число $3$ положительное, следовательно, любая его натуральная степень, включая $3^{10}$, также положительна. Значит, $y \ge 0$. Условие выполнено.

2. Проверяем, что квадрат $y$ равен $x$. Возводим $3^{10}$ в квадрат:

$(3^{10})^2 = 3^{10 \cdot 2} = 3^{20}$.

Результат $3^{20}$ совпадает с подкоренным выражением $x$. Условие выполнено.

Поскольку оба условия определения выполнены, равенство $\sqrt{3^{20}} = 3^{10}$ верно.

Ответ: Равенства $\sqrt{5^8} = 5^4$ и $\sqrt{3^{20}} = 3^{10}$ доказаны.

б)

Необходимо доказать свойство: $\sqrt{a^{2n}} = a^n$, где $a \ge 0$ и $n \in N$ ( $N$ — множество натуральных чисел, т.е. $n \ge 1$ ).

Доказательство будем проводить, основываясь на определении арифметического квадратного корня, как и в пункте а). Нам нужно доказать, что для $y = a^n$ и $x = a^{2n}$ выполняются условия $y \ge 0$ и $y^2 = x$.

1. Проверка на неотрицательность ($a^n \ge 0$).

По условию задачи, $a \ge 0$ и $n$ — натуральное число.

• Если $a = 0$, то $a^n = 0^n = 0$. Так как $0 \ge 0$, условие выполняется.

• Если $a > 0$, то $a^n$ (положительное число в натуральной степени) всегда будет положительным числом, то есть $a^n > 0$. Следовательно, условие $a^n \ge 0$ также выполняется.

Таким образом, для любых $a \ge 0$ и $n \in N$, выражение $a^n$ является неотрицательным.

2. Проверка равенства квадрата подкоренному выражению ($(a^n)^2 = a^{2n}$).

Возведем выражение $a^n$ в квадрат. Используя свойство возведения степени в степень $(b^m)^k = b^{m \cdot k}$, получаем:

$(a^n)^2 = a^{n \cdot 2} = a^{2n}$.

Полученный результат $a^{2n}$ в точности совпадает с подкоренным выражением.

Вывод:

Мы показали, что выражение $a^n$ неотрицательно и его квадрат равен подкоренному выражению $a^{2n}$. Следовательно, по определению арифметического квадратного корня, равенство $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ является верным при заданных условиях.

Ответ: Свойство $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ для $a \ge 0$ и $n \in N$ доказано.