Номер 2.106, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.106, страница 93.

Условие.

ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ (2.106–2.107) Вычислите:

2.106 а) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$;

б) $\sqrt{5} \cdot \sqrt{45}$;

в) $\sqrt{50} \cdot \sqrt{2}$;

г) $\sqrt{242} \cdot \sqrt{8}$;

д) $\frac{\sqrt{108}}{\sqrt{3}}$;

е) $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{150}}$;

ж) $\frac{\sqrt{90}}{\sqrt{40}}$;

з) $\frac{\sqrt{300}}{\sqrt{27}}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы вычислить произведение квадратных корней, воспользуемся свойством $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ для неотрицательных $a$ и $b$. Применяя это свойство, получаем: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8$.
Ответ: 8.

б) Используем свойство произведения квадратных корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$: $\sqrt{5} \cdot \sqrt{45} = \sqrt{5 \cdot 45} = \sqrt{225}$. Так как $15^2 = 225$, то $\sqrt{225} = 15$.
Ответ: 15.

в) По свойству произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$: $\sqrt{50} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{50 \cdot 2} = \sqrt{100} = 10$.
Ответ: 10.

г) Применяем свойство произведения корней: $\sqrt{242} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{242 \cdot 8}$. Чтобы упростить извлечение корня, разложим подкоренное выражение на множители, которые являются полными квадратами: $242 \cdot 8 = (2 \cdot 121) \cdot 8 = 16 \cdot 121$. Тогда $\sqrt{16 \cdot 121} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{121} = 4 \cdot 11 = 44$.
Ответ: 44.

д) Для вычисления частного квадратных корней воспользуемся свойством $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ для $a \ge 0$ и $b > 0$. $\frac{\sqrt{108}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{108}{3}} = \sqrt{36} = 6$.
Ответ: 6.

е) Используем свойство частного корней: $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{150}} = \sqrt{\frac{6}{150}}$. Сократим дробь под корнем, разделив числитель и знаменатель на 6: $\frac{6}{150} = \frac{1}{25}$. Тогда $\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

ж) По свойству частного корней: $\frac{\sqrt{90}}{\sqrt{40}} = \sqrt{\frac{90}{40}}$. Сокращаем дробь под корнем, разделив числитель и знаменатель на 10: $\frac{90}{40} = \frac{9}{4}$. Теперь извлекаем корень: $\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

з) Применим свойство частного корней: $\frac{\sqrt{300}}{\sqrt{27}} = \sqrt{\frac{300}{27}}$. Сократим дробь под корнем. Числитель и знаменатель делятся на 3: $\frac{300}{27} = \frac{100}{9}$. Тогда $\sqrt{\frac{100}{9}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{9}} = \frac{10}{3}$.
Ответ: $\frac{10}{3}$.