Номер 2.110, страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.110, страница 93.

Условие.

2.110 Сравните значения выражений:

а) $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$ и $\sqrt{7} \cdot \sqrt{5}$;

б) $\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}}$ и $\sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}}风$;

в) $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{12}}$ и $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{5}}$;

г) $\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}$ и $\sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы сравнить значения выражений $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$ и $\sqrt{7} \cdot \sqrt{5}$, упростим каждое из них, используя свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$. Для первого выражения получаем: $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6$. Для второго выражения: $\sqrt{7} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{7 \cdot 5} = \sqrt{35}$. Теперь сравним полученные значения: $6$ и $\sqrt{35}$. Поскольку оба числа положительны, можно сравнить их квадраты: $6^2 = 36$ и $(\sqrt{35})^2 = 35$. Так как $36 > 35$, то $6 > \sqrt{35}$. Следовательно, $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} > \sqrt{7} \cdot \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} > \sqrt{7} \cdot \sqrt{5}$.

б) Сравним выражения $\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}}$ и $\sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}}$. Упростим каждое выражение по свойству $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$. Первое выражение: $\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{1}{12}}$. Второе выражение: $\sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{12}}$. Так как результаты вычислений одинаковы, значения выражений равны.
Ответ: $\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}}$.

в) Сравним выражения $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{12}}$ и $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{5}}$. Для упрощения используем свойство частного корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$. Первое выражение: $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{12}} = \sqrt{\frac{72}{12}} = \sqrt{6}$. Второе выражение: $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{35}{5}} = \sqrt{7}$. Теперь сравним $\sqrt{6}$ и $\sqrt{7}$. Так как функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей для $x \ge 0$, а $6 < 7$, то и $\sqrt{6} < \sqrt{7}$. Следовательно, $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{12}} < \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{5}}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{12}} < \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{5}}$.

г) Сравним выражения $\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}$ и $\sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$. Упростим первое выражение: $\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2}{6}} = \sqrt{\frac{1}{3}}$. Упростим второе выражение: $\sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{3}{12}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$. Теперь сравним $\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $\frac{1}{2}$. Возведем оба положительных числа в квадрат: $(\sqrt{\frac{1}{3}})^2 = \frac{1}{3}$ и $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Сравним дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$. Приведя к общему знаменателю 12, получим $\frac{4}{12}$ и $\frac{3}{12}$. Так как $\frac{4}{12} > \frac{3}{12}$, то $\frac{1}{3} > \frac{1}{4}$, а значит $\sqrt{\frac{1}{3}} > \frac{1}{2}$. Следовательно, $\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} > \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} > \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$.