Номер 2.121, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.121, страница 95.

Условие.

2.121 Сократите дробь:

а) $\frac{\sqrt{4x}}{4}$;

б) $\frac{\sqrt{8a}}{6}$;

в) $\frac{27}{\sqrt{81m}}$;

г) $\frac{20}{\sqrt{50y}}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{4x}}{4}$ , сначала упростим числитель. Вынесем множитель из-под знака корня, используя свойство $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ .
$\sqrt{4x} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x} = 2\sqrt{x}$ .
Теперь подставим упрощенное выражение обратно в дробь:
$\frac{2\sqrt{x}}{4}$ .
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:
$\frac{2\sqrt{x}}{4} = \frac{\sqrt{x}}{2}$ .
Ответ: $\frac{\sqrt{x}}{2}$ .

б) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt{8a}}{6}$ . Упростим выражение в числителе, вынеся множитель из-под знака корня. Для этого представим число 8 в виде произведения $4 \cdot 2$ , где 4 является полным квадратом.
$\sqrt{8a} = \sqrt{4 \cdot 2a} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2a} = 2\sqrt{2a}$ .
Подставим это выражение в исходную дробь:
$\frac{2\sqrt{2a}}{6}$ .
Сократим числитель и знаменатель на 2:
$\frac{2\sqrt{2a}}{6} = \frac{\sqrt{2a}}{3}$ .
Ответ: $\frac{\sqrt{2a}}{3}$ .

в) Дана дробь $\frac{27}{\sqrt{81m}}$ . Упростим знаменатель, извлекая корень из числа 81.
$\sqrt{81m} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{m} = 9\sqrt{m}$ .
Теперь дробь имеет вид:
$\frac{27}{9\sqrt{m}}$ .
Сократим числитель и знаменатель на 9:
$\frac{27}{9\sqrt{m}} = \frac{3}{\sqrt{m}}$ .
Для завершения упрощения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{m}$ :
$\frac{3}{\sqrt{m}} = \frac{3 \cdot \sqrt{m}}{\sqrt{m} \cdot \sqrt{m}} = \frac{3\sqrt{m}}{m}$ .
Ответ: $\frac{3\sqrt{m}}{m}$ .

г) Рассмотрим дробь $\frac{20}{\sqrt{50y}}$ . Упростим знаменатель. Для этого представим число 50 как произведение $25 \cdot 2$ и вынесем множитель из-под знака корня.
$\sqrt{50y} = \sqrt{25 \cdot 2y} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2y} = 5\sqrt{2y}$ .
Подставим упрощенный знаменатель в дробь:
$\frac{20}{5\sqrt{2y}}$ .
Сократим числитель и знаменатель на 5:
$\frac{20}{5\sqrt{2y}} = \frac{4}{\sqrt{2y}}$ .
Избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2y}$ :
$\frac{4}{\sqrt{2y}} = \frac{4 \cdot \sqrt{2y}}{\sqrt{2y} \cdot \sqrt{2y}} = \frac{4\sqrt{2y}}{2y}$ .
Снова сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$\frac{4\sqrt{2y}}{2y} = \frac{2\sqrt{2y}}{y}$ .
Ответ: $\frac{2\sqrt{2y}}{y}$ .