Номер 2.124, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.124, страница 95.

Условие.

2.124 Упростите выражение:

а) $4\sqrt{5} \cdot \sqrt{45} \cdot \sqrt{50};$

б) $3\sqrt{27} \cdot \sqrt{48} \cdot \sqrt{75};$

в) $2\sqrt{15} \cdot 3\sqrt{6} \cdot 4\sqrt{30};$

г) $5\sqrt{18} \cdot 4\sqrt{40} \cdot 2\sqrt{35}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение $4\sqrt{5} \cdot \sqrt{45} \cdot \sqrt{50}$, сначала упростим каждый корень, вынося множители из-под знака корня.
Представим $\sqrt{45}$ как $\sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$.
Представим $\sqrt{50}$ как $\sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.
Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение:
$4\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5} \cdot 5\sqrt{2}$.
Сгруппируем коэффициенты (числа перед корнями) и корни отдельно и перемножим их, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$:
$(4 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2}) = 60 \cdot (5 \cdot \sqrt{2}) = 300\sqrt{2}$.
Ответ: $300\sqrt{2}$.

б) Упростим выражение $3\sqrt{27} \cdot \sqrt{48} \cdot \sqrt{75}$. Сначала вынесем множители из-под каждого корня.
$3\sqrt{27} = 3\sqrt{9 \cdot 3} = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$.
$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.
Подставим упрощенные корни в выражение:
$9\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3}$.
Перемножим коэффициенты и корни отдельно:
$(9 \cdot 4 \cdot 5) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 180 \cdot (3\sqrt{3}) = 540\sqrt{3}$.
Ответ: $540\sqrt{3}$.

в) Для упрощения выражения $2\sqrt{15} \cdot 3\sqrt{6} \cdot 4\sqrt{30}$ сгруппируем коэффициенты и объединим корни под одним знаком, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$(2 \cdot 3 \cdot 4) \cdot \sqrt{15 \cdot 6 \cdot 30} = 24\sqrt{15 \cdot 6 \cdot 30}$.
Разложим числа под корнем на простые множители, чтобы найти полные квадраты:
$15 = 3 \cdot 5$;
$6 = 2 \cdot 3$;
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.
Подставим множители под корень:
$24\sqrt{(3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3 \cdot 5)} = 24\sqrt{2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2} = 24\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 3}$.
Вынесем множители, являющиеся полными квадратами, из-под знака корня:
$24 \cdot (2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sqrt{3}) = 24 \cdot 30\sqrt{3} = 720\sqrt{3}$.
Ответ: $720\sqrt{3}$.

г) Упростим выражение $5\sqrt{18} \cdot 4\sqrt{40} \cdot 2\sqrt{35}$. Сначала упростим каждый множитель, вынося множители из-под знака корня, где это возможно.
$5\sqrt{18} = 5\sqrt{9 \cdot 2} = 5 \cdot 3\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$.
$4\sqrt{40} = 4\sqrt{4 \cdot 10} = 4 \cdot 2\sqrt{10} = 8\sqrt{10}$.
Корень $\sqrt{35}$ не упрощается, так как у числа 35 нет множителей, являющихся полными квадратами ($35=5 \cdot 7$).
Теперь выражение имеет вид:
$15\sqrt{2} \cdot 8\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{35}$.
Перемножим коэффициенты: $15 \cdot 8 \cdot 2 = 240$.
Перемножим корни: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{35} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 35}$.
Разложим подкоренное выражение на множители:
$2 \cdot 10 \cdot 35 = 2 \cdot (2 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 7) = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 7$.
Извлечем корень: $\sqrt{2^2 \cdot 5^2 \cdot 7} = 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{7} = 10\sqrt{7}$.
Теперь объединим результаты:
$240 \cdot 10\sqrt{7} = 2400\sqrt{7}$.
Ответ: $2400\sqrt{7}$.