Номер 2.126, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.126, страница 95.

Условие.

2.126 РАССУЖДАЕМ Расположите в порядке возрастания:

а) $ \frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2\sqrt{2}} $;

б) $ \frac{1}{3\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{17}}, \frac{1}{4} $;

в) $ \sqrt{\frac{3}{5}}, 2\sqrt{0.2}, 1 $;

г) $ 0,5, \frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{4} $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы расположить числа $ \frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2\sqrt{2}} $ в порядке возрастания, необходимо сравнить их. Поскольку все числа положительные и имеют числитель, равный 1, их можно сравнить по знаменателям. Для положительных чисел действует правило: чем больше знаменатель, тем меньше дробь. Сравним знаменатели: $ \sqrt{10}, 3, 2\sqrt{2} $. Чтобы избавиться от корней, возведем все знаменатели в квадрат:
$ (\sqrt{10})^2 = 10 $
$ 3^2 = 9 $
$ (2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8 $
Теперь сравним полученные квадраты: $ 8 < 9 < 10 $.
Так как все знаменатели — положительные числа, то и для них самих сохраняется тот же порядок: $ 2\sqrt{2} < 3 < \sqrt{10} $.
Поскольку знаменатели расположены в порядке возрастания, соответствующие дроби с числителем 1 будут расположены в порядке убывания: $ \frac{1}{2\sqrt{2}} > \frac{1}{3} > \frac{1}{\sqrt{10}} $.
Таким образом, в порядке возрастания числа располагаются следующим образом: $ \frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2\sqrt{2}} $.
Ответ: $ \frac{1}{\sqrt{10}}; \frac{1}{3}; \frac{1}{2\sqrt{2}} $.

б) Чтобы расположить числа $ \frac{1}{3\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{17}}, \frac{1}{4} $ в порядке возрастания, сравним их знаменатели $ 3\sqrt{2}, \sqrt{17}, 4 $. Возведем их в квадрат:
$ (3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18 $
$ (\sqrt{17})^2 = 17 $
$ 4^2 = 16 $
Сравниваем квадраты: $ 16 < 17 < 18 $.
Поскольку знаменатели положительны, для них самих неравенство сохраняется: $ 4 < \sqrt{17} < 3\sqrt{2} $.
Так как знаменатели расположены в порядке возрастания, дроби с числителем 1 будут расположены в порядке убывания: $ \frac{1}{4} > \frac{1}{\sqrt{17}} > \frac{1}{3\sqrt{2}} $.
В порядке возрастания числа располагаются так: $ \frac{1}{3\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{17}}, \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{3\sqrt{2}}; \frac{1}{\sqrt{17}}; \frac{1}{4} $.

в) Чтобы расположить числа $ \sqrt{\frac{3}{5}}, 2\sqrt{0,2}, 1 $ в порядке возрастания, сравним их. Так как все числа неотрицательные, их можно сравнить, возведя в квадрат. Порядок между квадратами чисел будет таким же, как и между самими числами.
$ (\sqrt{\frac{3}{5}})^2 = \frac{3}{5} = 0,6 $
$ (2\sqrt{0,2})^2 = 4 \cdot 0,2 = 0,8 $
$ 1^2 = 1 $
Сравним полученные значения: $ 0,6 < 0,8 < 1 $.
Следовательно, исходные числа в порядке возрастания располагаются так же: $ \sqrt{\frac{3}{5}} < 2\sqrt{0,2} < 1 $.
Ответ: $ \sqrt{\frac{3}{5}}; 2\sqrt{0,2}; 1 $.

г) Чтобы расположить числа $ 0,5, \frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{4} $ в порядке возрастания, возведем их в квадрат, так как все они положительны.
$ (0,5)^2 = 0,25 = \frac{1}{4} $
$ (\frac{\sqrt{2}}{3})^2 = \frac{2}{9} $
$ (\frac{\sqrt{3}}{4})^2 = \frac{3}{16} $
Теперь сравним полученные дроби: $ \frac{1}{4}, \frac{2}{9}, \frac{3}{16} $. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4, 9 и 16 равен 144.
$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 36}{4 \cdot 36} = \frac{36}{144} $
$ \frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 16}{9 \cdot 16} = \frac{32}{144} $
$ \frac{3}{16} = \frac{3 \cdot 9}{16 \cdot 9} = \frac{27}{144} $
Сравнивая числители, получаем: $ 27 < 32 < 36 $.
Следовательно, $ \frac{27}{144} < \frac{32}{144} < \frac{36}{144} $, что означает $ \frac{3}{16} < \frac{2}{9} < \frac{1}{4} $.
Поскольку порядок для квадратов чисел $ (\frac{\sqrt{3}}{4})^2 < (\frac{\sqrt{2}}{3})^2 < (0,5)^2 $, то для самих положительных чисел он будет таким же: $ \frac{\sqrt{3}}{4} < \frac{\sqrt{2}}{3} < 0,5 $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{4}; \frac{\sqrt{2}}{3}; 0,5 $.