Номер 2.125, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.125, страница 95.

Условие.

2.125 Упростите выражение:

а) $(2a\sqrt{3a})^2$;

б) $(5b\sqrt{6b})^2$;

в) $2x \cdot (\sqrt{8x})^2$;

г) $(y\sqrt{2y})^3$;

д) $3m(\sqrt{2m})^3$;

е) $\frac{(\sqrt{6n})^3}{(\sqrt{2n})^2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение $(2a\sqrt{3a})^2$, необходимо возвести в квадрат каждый множитель, находящийся в скобках, используя свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$. Также воспользуемся свойством квадратного корня $(\sqrt{k})^2 = k$ (при $k \ge 0$).

$(2a\sqrt{3a})^2 = (2a)^2 \cdot (\sqrt{3a})^2$

Возводим в квадрат первый множитель: $(2a)^2 = 4a^2$.

Возводим в квадрат второй множитель: $(\sqrt{3a})^2 = 3a$.

Теперь перемножаем полученные результаты:

$4a^2 \cdot 3a = 12a^3$.

Ответ: $12a^3$.

б) Упростим выражение $(5b\sqrt{6b})^2$ аналогично предыдущему пункту.

$(5b\sqrt{6b})^2 = (5b)^2 \cdot (\sqrt{6b})^2 = 25b^2 \cdot 6b = 150b^3$.

Ответ: $150b^3$.

в) В выражении $2x \cdot (\sqrt{8x})^2$ сначала выполним действие в скобках.

Возведение квадратного корня в квадрат дает подкоренное выражение: $(\sqrt{8x})^2 = 8x$.

Теперь умножим результат на множитель $2x$:

$2x \cdot 8x = 16x^2$.

Ответ: $16x^2$.

г) Чтобы упростить $(y\sqrt{2y})^3$, возведем в куб каждый множитель в скобках.

$(y\sqrt{2y})^3 = y^3 \cdot (\sqrt{2y})^3$.

Представим степень корня в виде произведения: $(\sqrt{2y})^3 = (\sqrt{2y})^2 \cdot \sqrt{2y}$.

Так как $(\sqrt{2y})^2 = 2y$, то $(\sqrt{2y})^3 = 2y\sqrt{2y}$.

Подставим это обратно в выражение:

$y^3 \cdot (2y\sqrt{2y}) = 2y^4\sqrt{2y}$.

Ответ: $2y^4\sqrt{2y}$.

д) В выражении $3m(\sqrt{2m})^3$ сначала упростим степень.

$(\sqrt{2m})^3 = (\sqrt{2m})^2 \cdot \sqrt{2m} = 2m\sqrt{2m}$.

Теперь умножим результат на $3m$:

$3m \cdot (2m\sqrt{2m}) = 6m^2\sqrt{2m}$.

Ответ: $6m^2\sqrt{2m}$.

е) Рассмотрим дробь $\frac{(\sqrt{6n})^3}{(\sqrt{2n})^2}$. Упростим числитель и знаменатель по отдельности.

Числитель: $(\sqrt{6n})^3 = (\sqrt{6n})^2 \cdot \sqrt{6n} = 6n\sqrt{6n}$.

Знаменатель: $(\sqrt{2n})^2 = 2n$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{6n\sqrt{6n}}{2n}$

Сокращаем дробь на общий множитель $2n$ (при условии, что $n \neq 0$):

$\frac{6n}{2n}\sqrt{6n} = 3\sqrt{6n}$.

Ответ: $3\sqrt{6n}$.