Номер 2.118, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.118, страница 94.

Условие.

РАССУЖДАЕМ (2.118 – 2.119)

2.118 Сравните значения выражений:

а) $2\sqrt{3}$ и $\sqrt{8}$;

б) $\sqrt{45}$ и $3\sqrt{5}$;

в) $2\sqrt{6}$ и $3\sqrt{3}$;

г) $2\sqrt{\frac{1}{8}}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{2}$;

д) $5\sqrt{\frac{3}{5}}$ и $3\sqrt{\frac{5}{3}}$;

е) $\frac{1}{3}\sqrt{20}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{8}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для сравнения значений выражений, содержащих квадратные корни, удобно привести их к виду $\sqrt{A}$ и затем сравнить подкоренные выражения $A$. Это можно сделать, внеся множитель перед корнем под знак корня по формуле $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}$ (для $a \ge 0$). Так как функция квадратного корня $y = \sqrt{x}$ является возрастающей, то чем больше подкоренное выражение, тем больше значение самого корня.

а) Сравним $2\sqrt{3}$ и $\sqrt{8}$.

Внесем множитель 2 под знак корня в первом выражении:

$2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$.

Теперь сравним $\sqrt{12}$ и $\sqrt{8}$. Так как подкоренное выражение $12$ больше, чем $8$, то и значение корня будет больше.

$12 > 8 \Rightarrow \sqrt{12} > \sqrt{8}$.

Следовательно, $2\sqrt{3} > \sqrt{8}$.

Ответ: $2\sqrt{3} > \sqrt{8}$.

б) Сравним $\sqrt{45}$ и $3\sqrt{5}$.

Внесем множитель 3 под знак корня во втором выражении:

$3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$.

Сравниваем $\sqrt{45}$ и $\sqrt{45}$. Так как подкоренные выражения равны, то и значения выражений равны.

Ответ: $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

в) Сравним $2\sqrt{6}$ и $3\sqrt{3}$.

Внесем множители под знак корня в обоих выражениях:

$2\sqrt{6} = \sqrt{2^2 \cdot 6} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{24}$.

$3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$.

Теперь сравним $\sqrt{24}$ и $\sqrt{27}$.

$24 < 27 \Rightarrow \sqrt{24} < \sqrt{27}$.

Следовательно, $2\sqrt{6} < 3\sqrt{3}$.

Ответ: $2\sqrt{6} < 3\sqrt{3}$.

г) Сравним $2\sqrt{\frac{1}{8}}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{2}$.

Внесем коэффициенты под знак корня:

$2\sqrt{\frac{1}{8}} = \sqrt{2^2 \cdot \frac{1}{8}} = \sqrt{4 \cdot \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{4}{8}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$.

$\frac{1}{2}\sqrt{2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 2} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 2} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$.

Оба выражения равны $\sqrt{\frac{1}{2}}$, следовательно, они равны между собой.

Ответ: $2\sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}\sqrt{2}$.

д) Сравним $5\sqrt{\frac{3}{5}}$ и $3\sqrt{\frac{5}{3}}$.

Внесем множители под знак корня:

$5\sqrt{\frac{3}{5}} = \sqrt{5^2 \cdot \frac{3}{5}} = \sqrt{25 \cdot \frac{3}{5}} = \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{15}$.

$3\sqrt{\frac{5}{3}} = \sqrt{3^2 \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt{9 \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{15}$.

Поскольку оба выражения равны $\sqrt{15}$, они равны друг другу.

Ответ: $5\sqrt{\frac{3}{5}} = 3\sqrt{\frac{5}{3}}$.

е) Сравним $\frac{1}{3}\sqrt{20}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{8}$.

Внесем коэффициенты под знак корня:

$\frac{1}{3}\sqrt{20} = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 \cdot 20} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 20} = \sqrt{\frac{20}{9}}$.

$\frac{1}{2}\sqrt{8} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 8} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 8} = \sqrt{\frac{8}{4}} = \sqrt{2}$.

Теперь сравним $\sqrt{\frac{20}{9}}$ и $\sqrt{2}$. Для этого сравним подкоренные выражения $\frac{20}{9}$ и $2$.

$\frac{20}{9} \approx 2.22...$, что больше $2$. Или, представив $2$ как дробь со знаменателем $9$, получим $2 = \frac{18}{9}$.

$\frac{20}{9} > \frac{18}{9} \Rightarrow \sqrt{\frac{20}{9}} > \sqrt{\frac{18}{9}}$.

Следовательно, $\frac{1}{3}\sqrt{20} > \frac{1}{2}\sqrt{8}$.

Ответ: $\frac{1}{3}\sqrt{20} > \frac{1}{2}\sqrt{8}$.