Номер 2.119, страница 94 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.119, страница 94.

Условие.

2.119 Расположите в порядке возрастания:

а) $3\sqrt{2}; 2\sqrt{3}$ и $4;$

б) $5; 2\sqrt{7}$ и $3\sqrt{3};$

в) $4\sqrt{3}; 2\sqrt{10}$ и $5\sqrt{2};$

г) $3\sqrt{6}; 6\sqrt{2}$ и $2\sqrt{13}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы расположить числа $3\sqrt{2}$, $2\sqrt{3}$ и $4$ в порядке возрастания, необходимо их сравнить. Удобнее всего это сделать, представив каждое число в виде квадратного корня. Для этого внесем множитель под знак корня. Поскольку все числа положительные, большему подкоренному выражению будет соответствовать большее число.

Выполним преобразования:

$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$

$2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$

$4 = \sqrt{4^2} = \sqrt{16}$

Теперь сравним полученные подкоренные выражения: $12 < 16 < 18$.

Это означает, что $\sqrt{12} < \sqrt{16} < \sqrt{18}$, и, следовательно, исходные числа в порядке возрастания располагаются следующим образом: $2\sqrt{3}$, $4$, $3\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{3}; 4; 3\sqrt{2}$.

б) Сравним числа $5$, $2\sqrt{7}$ и $3\sqrt{3}$. Аналогично предыдущему пункту, представим все числа в виде квадратных корней.

$5 = \sqrt{5^2} = \sqrt{25}$

$2\sqrt{7} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}$

$3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$

Сравниваем подкоренные выражения: $25 < 27 < 28$.

Таким образом, $\sqrt{25} < \sqrt{27} < \sqrt{28}$, что соответствует порядку $5 < 3\sqrt{3} < 2\sqrt{7}$.

Ответ: $5; 3\sqrt{3}; 2\sqrt{7}$.

в) Расположим в порядке возрастания числа $4\sqrt{3}$, $2\sqrt{10}$ и $5\sqrt{2}$. Внесем множители под знак корня для каждого числа.

$4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$

$2\sqrt{10} = \sqrt{2^2 \cdot 10} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{40}$

$5\sqrt{2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}$

Сравниваем значения под корнями: $40 < 48 < 50$.

Отсюда следует, что $\sqrt{40} < \sqrt{48} < \sqrt{50}$, а значит, искомый порядок чисел: $2\sqrt{10}$, $4\sqrt{3}$, $5\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{10}; 4\sqrt{3}; 5\sqrt{2}$.

г) Сравним числа $3\sqrt{6}$, $6\sqrt{2}$ и $2\sqrt{13}$. Представим каждое из них в виде квадратного корня.

$3\sqrt{6} = \sqrt{3^2 \cdot 6} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{54}$

$6\sqrt{2} = \sqrt{6^2 \cdot 2} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{72}$

$2\sqrt{13} = \sqrt{2^2 \cdot 13} = \sqrt{4 \cdot 13} = \sqrt{52}$

Сравниваем подкоренные выражения: $52 < 54 < 72$.

Следовательно, $\sqrt{52} < \sqrt{54} < \sqrt{72}$, и числа в порядке возрастания располагаются так: $2\sqrt{13}$, $3\sqrt{6}$, $6\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{13}; 3\sqrt{6}; 6\sqrt{2}$.