Номер 2.123, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.6. Свойства квадратных корней. Глава 2. Квадратные корни - номер 2.123, страница 95.

Условие.

2.123 а) $\sqrt{30 \cdot 66 \cdot 220}$;

б) $\sqrt{54 \cdot 48 \cdot 50}$;

в) $\sqrt{3^3 \cdot 12^5}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы вычислить значение выражения $ \sqrt{30 \cdot 66 \cdot 220} $, разложим числа под корнем на множители таким образом, чтобы выделить полные квадраты. Это позволит упростить извлечение корня.

Представим каждый множитель под корнем в виде произведения:

$ 30 = 3 \cdot 10 $

$ 66 = 6 \cdot 11 $

$ 220 = 22 \cdot 10 $

Подставим эти разложения в исходное выражение:

$ \sqrt{30 \cdot 66 \cdot 220} = \sqrt{(3 \cdot 10) \cdot (6 \cdot 11) \cdot (22 \cdot 10)} $

Продолжим разложение, чтобы найти пары одинаковых множителей:

$ \sqrt{(3 \cdot 10) \cdot (2 \cdot 3 \cdot 11) \cdot (2 \cdot 11 \cdot 10)} $

Теперь сгруппируем одинаковые множители вместе:

$ \sqrt{(10 \cdot 10) \cdot (11 \cdot 11) \cdot (3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 2)} = \sqrt{10^2 \cdot 11^2 \cdot 3^2 \cdot 2^2} $

Используя свойство корня из произведения $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $ и то, что $ \sqrt{x^2} = x $ для $ x \ge 0 $:

$ \sqrt{10^2} \cdot \sqrt{11^2} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{2^2} = 10 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 2 $

Вычислим конечное значение:

$ 10 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 2 = 110 \cdot 6 = 660 $

Ответ: 660

б)

Для вычисления значения выражения $ \sqrt{54 \cdot 48 \cdot 50} $, разложим каждое число под корнем на простые множители.

Разложим каждый множитель:

$ 54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3 $

$ 48 = 3 \cdot 16 = 3 \cdot 2^4 $

$ 50 = 2 \cdot 25 = 2 \cdot 5^2 $

Подставим разложения в исходное выражение:

$ \sqrt{(2 \cdot 3^3) \cdot (3 \cdot 2^4) \cdot (2 \cdot 5^2)} $

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями, используя свойство степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:

$ \sqrt{(2 \cdot 2^4 \cdot 2) \cdot (3^3 \cdot 3) \cdot 5^2} = \sqrt{2^{1+4+1} \cdot 3^{3+1} \cdot 5^2} = \sqrt{2^6 \cdot 3^4 \cdot 5^2} $

Теперь извлечем корень, используя свойство $ \sqrt{x^{2n}} = x^n $:

$ \sqrt{2^6} \cdot \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^2} = 2^{6/2} \cdot 3^{4/2} \cdot 5^{2/2} = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 $

Вычислим результат:

$ 8 \cdot 9 \cdot 5 = 72 \cdot 5 = 360 $

Ответ: 360

в)

Для вычисления значения выражения $ \sqrt{3^3 \cdot 12^5} $, сначала упростим подкоренное выражение, приведя множители к одинаковым основаниям.

Представим число 12 в виде произведения простых множителей:

$ 12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3 $

Подставим это разложение в исходное выражение:

$ \sqrt{3^3 \cdot (2^2 \cdot 3)^5} $

Раскроем скобки, используя свойство степени произведения $ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n $:

$ \sqrt{3^3 \cdot (2^2)^5 \cdot 3^5} $

Применим свойство степени степени $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $:

$ \sqrt{3^3 \cdot 2^{10} \cdot 3^5} $

Сгруппируем множители с основанием 3, используя свойство $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:

$ \sqrt{3^{3+5} \cdot 2^{10}} = \sqrt{3^8 \cdot 2^{10}} $

Извлечем корень, используя свойство $ \sqrt{x^{2n}} = x^n $:

$ \sqrt{3^8} \cdot \sqrt{2^{10}} = 3^{8/2} \cdot 2^{10/2} = 3^4 \cdot 2^5 $

Вычислим значения степеней и их произведение:

$ 3^4 = 81 $

$ 2^5 = 32 $

$ 81 \cdot 32 = 2592 $

Ответ: 2592